Ensino Superiorintegral utilizando o método da substituição Tópico resolvido

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thetruth
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Ago 2019 28 14:55

integral utilizando o método da substituição

Mensagem não lida por thetruth » Qua 28 Ago, 2019 14:55

travei nessas 2 integrais, alguém poderia me ajudar??

1)[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3dx}{x^{2}-4x+1}[/tex3]

2) [tex3]\int\limits_{}^{}x^2 \sqrt{1+x}dx[/tex3]

Última edição: thetruth (Qui 29 Ago, 2019 00:18). Total de 1 vez.



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Cardoso1979
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Ago 2019 31 00:54

Re: integral utilizando o método da substituição

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sáb 31 Ago, 2019 00:54

Olá thetruth, como são duas questões , irei resolver somente uma, pois você infringiu em uma das regras deste fórum , seguindo a ordem , vou resolver a 1).👍

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3dx}{x^{2}-4x+1}=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+1}dx=[/tex3]

Completando quadrado, vem;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+4-4+1}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2-3}dx=[/tex3]

Fazendo a substituição

u = x - 2 → du = dx

Daí,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{u^2-3}du=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}du=[/tex3]

Então,

[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A}{u+\sqrt{3}}+\frac{B}{u-\sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.(u-\sqrt{3})+B.(u+\sqrt{3})}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.
u-A.\sqrt{3}+B.u+B.\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]

[tex3]\frac{0.u+3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{(A+B).u+(B-A).\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]

Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
(B-A).\sqrt{3}=3
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
B-A=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema acima, obtemos:

[tex3]A=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] ,
[tex3]B=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]


Assim,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{A}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{B}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u+\sqrt{3}}dx+\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|+C[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+C[/tex3]



Como u = x - 2, vem;


[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{[(x-2)
+\sqrt{3}].[(x-2)-\sqrt{3}]}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2
-\sqrt{3^2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+4
-3}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln|x-2-\sqrt{3}|-ln|x-2+\sqrt{3}|)+C[/tex3]

Ou ainda;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+1}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right|)+C[/tex3]


Bons estudos!




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Ago 2019 31 01:29

Re: integral utilizando o método da substituição

Mensagem não lida por thetruth » Sáb 31 Ago, 2019 01:29

Cardoso1979 escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 00:54
Olá thetruth, como são duas questões , irei resolver somente uma, pois você infringiu em uma das regras deste fórum , seguindo a ordem , vou resolver a 1).👍

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3dx}{x^{2}-4x+1}=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+1}dx=[/tex3]

Completando quadrado, vem;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^{2}-4x+4-4+1}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2-3}dx=[/tex3]

Fazendo a substituição

u = x - 2 → du = dx

Daí,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{u^2-3}du=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}du=[/tex3]

Então,

[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A}{u+\sqrt{3}}+\frac{B}{u-\sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.(u-\sqrt{3})+B.(u+\sqrt{3})}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{A.
u-A.\sqrt{3}+B.u+B.\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]

[tex3]\frac{0.u+3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}=\frac{(A+B).u+(B-A).\sqrt{3}}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}[/tex3]

Comparando os termos, resulta no seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
(B-A).\sqrt{3}=3
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
A+B=0 \\
B-A=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema acima, obtemos:

[tex3]A=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] ,
[tex3]B=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]


Assim,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{A}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{B}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{u+\sqrt{3}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u+\sqrt{3}}dx+\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{u-\sqrt{3}}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|+C[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(u+\sqrt{3}).(u-\sqrt{3})}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|u+\sqrt{3}|+C[/tex3]



Como u = x - 2, vem;


[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{[(x-2)
+\sqrt{3}].[(x-2)-\sqrt{3}]}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{(x-2)^2
-\sqrt{3^2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2-\sqrt{3}|-\frac{\sqrt{3}}{2}.ln|x-2+\sqrt{3}|+C[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+4
-3}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln|x-2-\sqrt{3}|-ln|x-2+\sqrt{3}|)+C[/tex3]

Ou ainda;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3}{x^2-4x+1}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}.(ln\left|\frac{x-2-\sqrt{3}}{x-2+\sqrt{3}}\right|)+C[/tex3]


Bons estudos!
poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.


desculpe, eu desconhecia essa regra do fórum



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Re: integral utilizando o método da substituição

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sáb 31 Ago, 2019 08:17

thetruth escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 01:29
Cardoso1979 escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 00:54
Olá thetruth

poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.

Porque você não avisou? Se você tivesse avisado aqui( postado algo, tipo , que não precisava mais resolver a 1 ), eu teria resolvido a segunda e não a primeira.



desculpe, eu desconhecia essa regra do fórum

Tudo bem 👍



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Re: integral utilizando o método da substituição

Mensagem não lida por thetruth » Seg 02 Set, 2019 15:19

Cardoso1979 escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 08:17
thetruth escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 01:29
Cardoso1979 escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 00:54
Olá thetruth

poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.

Porque você não avisou? Se você tivesse avisado aqui( postado algo, tipo , que não precisava mais resolver a 1 ), eu teria resolvido a segunda e não a primeira.

eu tinha esquecido do tópico



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Re: integral utilizando o método da substituição

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sex 20 Set, 2019 21:55

thetruth escreveu:
Seg 02 Set, 2019 15:19
Cardoso1979 escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 08:17
thetruth escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 01:29
Cardoso1979 escreveu:
Sáb 31 Ago, 2019 00:54
Olá thetruth

poxa eu tinha resolvido essa primeira já, eu estava mesmo precisando dessa segunda.

Porque você não avisou? Se você tivesse avisado aqui( postado algo, tipo , que não precisava mais resolver a 1 ), eu teria resolvido a segunda e não a primeira.

eu tinha esquecido do tópico
Ok




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