Ensino Superior ⇒ Regra da Cadeia para Derivada Parcial Tópico resolvido

[davidmota]

Alguém poderia me ajudar com essa questão?

Use a regra da cadeia para determinar dw/dt na equação:

[tex3]w = \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w = \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]

com [tex3]x = \cos t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \cos t[/tex3]

, [tex3]y= \sen t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y= \sen t[/tex3]

e [tex3]z = e^t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = e^t[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução ( regra da cadeia direta ):

Temos que

[tex3]w = \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w = \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]

[tex3]w = \frac{cos (t)+sen (t)+e^t}{cos^2(t)+sen^2 (t)+e^{2t}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w = \frac{cos (t)+sen (t)+e^t}{cos^2(t)+sen^2 (t)+e^{2t}}[/tex3]

[tex3]w = \frac{cos (t)+sen (t)+e^t}{1+e^{2t}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w = \frac{cos (t)+sen (t)+e^t}{1+e^{2t}}[/tex3]

Aplicando a regra da derivada para divisão, vem;

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[cos(t)+sen(t)+e^t]'.(1+e^{2t})-[cos(t)+sen(t)+e^t].(1+e^{2t})'}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[cos(t)+sen(t)+e^t]'.(1+e^{2t})-[cos(t)+sen(t)+e^t].(1+e^{2t})'}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[-sen(t)+cos(t)+e^t].(1+e^{2t})-[cos(t)+sen(t)+e^t].(0+e^{2t}).(2t)'}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[-sen(t)+cos(t)+e^t].(1+e^{2t})-[cos(t)+sen(t)+e^t].(0+e^{2t}).(2t)'}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[-sen(t)+cos(t)+e^t].(1+e^{2t})-[cos(t)+sen(t)+e^t].e^{2t}.2}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[-sen(t)+cos(t)+e^t].(1+e^{2t})-[cos(t)+sen(t)+e^t].e^{2t}.2}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[-sen(t)+cos(t)+e^t].(1+e^{2t})}{(1+e^{2t})^2}-\frac{2e^{2t}[cos(t)+sen(t)+e^t]}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{[-sen(t)+cos(t)+e^t].(1+e^{2t})}{(1+e^{2t})^2}-\frac{2e^{2t}[cos(t)+sen(t)+e^t]}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{cos(t)-sen(t)+e^t}{1+e^{2t}}-\frac{2e^{2t}[cos(t)+sen(t)+e^t]}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dw}{dt}= \frac{cos(t)-sen(t)+e^t}{1+e^{2t}}-\frac{2e^{2t}[cos(t)+sen(t)+e^t]}{(1+e^{2t})^2}[/tex3]

Bons estudos!

[davidmota]

Muito obrigado !!!

[Cardoso1979]

Muito obrigado !!!

Disponha