Ensino Superior ⇒ Cálculo Diferencial e Integral IV Equação Diferencial de Bernoulli Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2019
26
00:58
Cálculo Diferencial e Integral IV Equação Diferencial de Bernoulli
A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nessas variáveis. Se a condição inicial y(1)=8 atende à solução da E.D de Bernoulli: x[dy][/dx]+3y=6xy^2/3. Então, o valor inteiro mais próximo de y(2) é:
Última edição: Edsonao (Seg 26 Ago, 2019 14:40). Total de 4 vezes.
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Ago 2019
27
09:38
Re: Cálculo Diferencial e Integral IV Equação Diferencial de Bernoulli
[tex3]x\frac{dy}{dx}+3y=6xy^{\frac{2}{3}}[/tex3]
Observe
Uma solução:
Podemos representar essa mesma EDO da seguinte forma
[tex3]xy'+3y=6xy^{\frac{2}{3}}[/tex3]
Divida tudo por x, resulta;
[tex3]y'+\frac{3y}{x}=6y^{\frac{2}{3}}[/tex3]
Agora, divida tudo por [tex3]y^{\frac{2}{3}}[/tex3] , fica;
[tex3]y^{-\frac{2}{3}}.y'+\frac{3}{x}.y^{1-\frac{2}{3}}=6[/tex3]
[tex3]y^{-\frac{2}{3}}.y'+\frac{3}{x}.y^{\frac{1}{3}}=6 \ (I)[/tex3]
Fazendo a substituição
[tex3]u=y^{\frac{1}{3}}→u'=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}.y'→y^{-\frac{2}{3}}.y'=3u' \ (II)[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos
[tex3]3u' + \frac{3}{x}.u=6[/tex3]
Divida tudo por 3, resulta;
[tex3]u' + \frac{1}{x}.u=2[/tex3] → uma EDO linear de primeira ordem!
Daí,
[tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx}[/tex3]
[tex3]\mu (x)=e^{ln(x)}[/tex3]
[tex3]\mu (x)=x[/tex3]
Logo,
[tex3]u(x)=\frac{1}{\mu (x)}.\int\limits_{}^{}\mu (x).q(x) \ dx[/tex3]
[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.\int\limits_{}^{}x.2 \ dx[/tex3]
[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.\int\limits_{}^{}2x \ dx[/tex3]
[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.(x^2+C) \ (III)[/tex3]
Como [tex3]u(x)=y^{\frac{1}{3}}[/tex3] , substituindo em ( I I I ) , vem;
[tex3]y^{\frac{1}{3}}=\frac{x^2+C}{x}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]y(x)=\frac{(x^2+C)^3}{x^3}[/tex3]
Por outro lado, como y( 1 ) = 8, fica;
[tex3]y(1)=\frac{(1^2+C)^3}{1^3}[/tex3]
( 1 + C )³ = 8
1 + C = [tex3]\sqrt[3]{8}[/tex3]
C = 2 - 1
C = 1
Assim,
[tex3]y(x)=\frac{(x^2+1)^3}{x^3}[/tex3]
Por fim, calculando y( 2 ) , temos:
[tex3]y(2)=\frac{(2^2+1)^3}{2^3}[/tex3]
[tex3]y(2)=\frac{(4+1)^3}{8}[/tex3]
[tex3]y(2)=\frac{5^3}{8}[/tex3]
[tex3]y(2)=\frac{125}{8}[/tex3]
y( 2 ) = 15,625
Cadê as alternativas? Tenho absoluta certeza que esta questão tem alternativa, por que não as coloca ?
Bons estudos!
Observe
Uma solução:
Podemos representar essa mesma EDO da seguinte forma
[tex3]xy'+3y=6xy^{\frac{2}{3}}[/tex3]
Divida tudo por x, resulta;
[tex3]y'+\frac{3y}{x}=6y^{\frac{2}{3}}[/tex3]
Agora, divida tudo por [tex3]y^{\frac{2}{3}}[/tex3] , fica;
[tex3]y^{-\frac{2}{3}}.y'+\frac{3}{x}.y^{1-\frac{2}{3}}=6[/tex3]
[tex3]y^{-\frac{2}{3}}.y'+\frac{3}{x}.y^{\frac{1}{3}}=6 \ (I)[/tex3]
Fazendo a substituição
[tex3]u=y^{\frac{1}{3}}→u'=\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}}.y'→y^{-\frac{2}{3}}.y'=3u' \ (II)[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos
[tex3]3u' + \frac{3}{x}.u=6[/tex3]
Divida tudo por 3, resulta;
[tex3]u' + \frac{1}{x}.u=2[/tex3] → uma EDO linear de primeira ordem!
Daí,
[tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx}[/tex3]
[tex3]\mu (x)=e^{ln(x)}[/tex3]
[tex3]\mu (x)=x[/tex3]
Logo,
[tex3]u(x)=\frac{1}{\mu (x)}.\int\limits_{}^{}\mu (x).q(x) \ dx[/tex3]
[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.\int\limits_{}^{}x.2 \ dx[/tex3]
[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.\int\limits_{}^{}2x \ dx[/tex3]
[tex3]u(x)=\frac{1}{x}.(x^2+C) \ (III)[/tex3]
Como [tex3]u(x)=y^{\frac{1}{3}}[/tex3] , substituindo em ( I I I ) , vem;
[tex3]y^{\frac{1}{3}}=\frac{x^2+C}{x}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]y(x)=\frac{(x^2+C)^3}{x^3}[/tex3]
Por outro lado, como y( 1 ) = 8, fica;
[tex3]y(1)=\frac{(1^2+C)^3}{1^3}[/tex3]
( 1 + C )³ = 8
1 + C = [tex3]\sqrt[3]{8}[/tex3]
C = 2 - 1
C = 1
Assim,
[tex3]y(x)=\frac{(x^2+1)^3}{x^3}[/tex3]
Por fim, calculando y( 2 ) , temos:
[tex3]y(2)=\frac{(2^2+1)^3}{2^3}[/tex3]
[tex3]y(2)=\frac{(4+1)^3}{8}[/tex3]
[tex3]y(2)=\frac{5^3}{8}[/tex3]
[tex3]y(2)=\frac{125}{8}[/tex3]
y( 2 ) = 15,625
Cadê as alternativas? Tenho absoluta certeza que esta questão tem alternativa, por que não as coloca ?
Bons estudos!
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Ago 2019
27
09:43
Re: Cálculo Diferencial e Integral IV Equação Diferencial de Bernoulli
Detalhes adicionais
Se y' + p( x ).y = q( x ) então, [tex3]\mu (x)=e^{
\int\limits_{}^{}p(x) \ dx} [/tex3] .
Obs. Veja a importância de se colocar as alternativas, pense bem na hora de postar uma pergunta neste fórum.
Se y' + p( x ).y = q( x ) então, [tex3]\mu (x)=e^{
\int\limits_{}^{}p(x) \ dx} [/tex3] .
Obs. Veja a importância de se colocar as alternativas, pense bem na hora de postar uma pergunta neste fórum.
Ago 2019
27
09:50
Re: Cálculo Diferencial e Integral IV Equação Diferencial de Bernoulli
Bom dia Cardoso, me desculpe, esqueci de colocar as alternativas mesmo, vou me atentar pra cometer mais esse erro, e são as seguintes:
12, 18, 16, 20 e 10. Pela sua resolução a que mais se aproxima é a alternativa 16.
Vou estudar pra entender a resolução.
Obrigado.
12, 18, 16, 20 e 10. Pela sua resolução a que mais se aproxima é a alternativa 16.
Vou estudar pra entender a resolução.
Obrigado.
Última edição: Edsonao (Ter 27 Ago, 2019 09:56). Total de 1 vez.
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Ago 2019
27
09:57
Re: Cálculo Diferencial e Integral IV Equação Diferencial de Bernoulli
Exatamente ! y( 2 ) ≈ 16.
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