Boa noite,
Solicito ajuda para resolver uma questão do livro do Guidorizzi:
Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
f(x)= [tex3]\sqrt{x}[/tex3]
em p=4.
Eu fiz assim:
Pretendemos provar que para todo [tex3]\epsilon [/tex3]
>0 exixte [tex3]\delta [/tex3]
> 0 ([tex3]\delta [/tex3]
dependendo de [tex3]\epsilon [/tex3]
) tal que, se p - [tex3]\delta [/tex3]
< x < p + [tex3]\delta [/tex3]
, então f(p) - [tex3]\epsilon [/tex3]
< f(x) < f(p) + [tex3]\epsilon [/tex3]
para todo x [tex3]\in [/tex3]
Df.
Se p=4 f(x)=[tex3]\sqrt{4}[/tex3]
= 2
Penso que x tem que ser maior ou igual a zer, mas não consigo ir adiante.
Por favor, se alguém puder ajudar... agradeço.
Ensino Superior ⇒ Cálculo I Tópico resolvido
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Ago 2019
31
12:42
Re: Cálculo I
Observe
Solução:
Usando a definição de derivada, temos que
[tex3]f'(p)=\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}[/tex3]
Então,
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-f(4)}{x-4}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{x-4}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{(\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2)}{(x-4).(\sqrt{x}+2)}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x^2}-2^2}{(x-4).(\sqrt{x}+2)}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\cancel{x-4}}{\cancel{(x-4)}.(\sqrt{x}+2)}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\frac{1}{\sqrt{4}+2}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\frac{1}{2+2}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\frac{1}{4}[/tex3]
O que prova pela definição que a função f( x ) = √x é derivável em p = 4 , logo f( x ) = √x é contínua em p = 4. C.q.p.
Nota
Teorema:
Se f for derivável em p , então f será contínua em p.
Solução:
Usando a definição de derivada, temos que
[tex3]f'(p)=\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}[/tex3]
Então,
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-f(4)}{x-4}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{x-4}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{(\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2)}{(x-4).(\sqrt{x}+2)}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x^2}-2^2}{(x-4).(\sqrt{x}+2)}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\cancel{x-4}}{\cancel{(x-4)}.(\sqrt{x}+2)}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\frac{1}{\sqrt{4}+2}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\frac{1}{2+2}[/tex3]
[tex3]f'(4)=\frac{1}{4}[/tex3]
O que prova pela definição que a função f( x ) = √x é derivável em p = 4 , logo f( x ) = √x é contínua em p = 4. C.q.p.
Nota
Teorema:
Se f for derivável em p , então f será contínua em p.
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