Ensino Superior

(Fuvest-sp) Seja F a primitiva de f(x) = 3 (\sqrt 1 + ln x)/ x que satisfaz F(1) = 3. Então F(e) vale:

gab: 4(\sqrt2 ) + 1

Observe

Solução:

[tex3]f(x)=\frac{3\sqrt{1+ln \ x}}{x}[/tex3]

Então,

[tex3]\int\limits_{}^{}f(x) \ dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3\sqrt{1+ln \ x}}{x}\ dx=[/tex3]

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\sqrt{1+ln \ x}.\frac{1}{x}dx=[/tex3]

Fazendo a substituição u = 1 + ln x → [tex3]du=\frac{1}{x}dx[/tex3] , vem;

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\sqrt{u} \ du=[/tex3]

[tex3]3.\int\limits_{}^{} u^\frac{1}{2}\ du=[/tex3]

[tex3]3.\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=[/tex3]

[tex3]\cancel{3}.2.\frac{\sqrt{u^3}}{\cancel{3}}+C=[/tex3]

[tex3]2.\sqrt{u^3}+C=[/tex3]

Como u = 1 + ln x, resulta;

[tex3]F(x)=2.\sqrt{(1+ln \ x)^3}+C[/tex3]

Fazendo F( 1 ) = 3 , temos que

[tex3]F(1)=2.\sqrt{(1+ln \ 1)^3}+C[/tex3]

[tex3]3=2.\sqrt{(1+0)^3}+C[/tex3]

[tex3]3=2.\sqrt{1^3}+C[/tex3]

3 = 2.1 + C

C = 3 - 2

C = 1

Logo,

[tex3]F(x)=2.\sqrt{(1+ln \ x)^3}+1[/tex3]

Calculando F( e ) , fica;

[tex3]F(e)=2.\sqrt{(1+ln \ e)^3}+1[/tex3]

[tex3]F(e)=2.\sqrt{(1+1)^3}+1[/tex3]

[tex3]F(e)=2.\sqrt{2^3}+1[/tex3]

[tex3]F(e)=2.\sqrt{4.2}+1[/tex3]

[tex3]F(e)=2.2.\sqrt{2}+1[/tex3]

Portanto,

[tex3]F(e)=4\sqrt{2}+1[/tex3]

Bons estudos!

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