Dois lados e os três vértices de um triângulo encontram-se sobre as retas:
[tex3]r_{1}:\begin{cases}
x=2t\\
y=3+t\end{cases} [/tex3]
[tex3]∀t \in [/tex3]
[tex3]\mathbb{R}[/tex3]
[tex3]r_{2}:\begin{cases}
x=2-s \\
y=4+s\end{cases}[/tex3]
[tex3]∀s\in [/tex3]
[tex3]\mathbb{R}[/tex3]
Determine todos os vértices do triângulo sabendo que seu baricentro têm coordenadas G = (−1,4), e encontre a equação reduzida da reta que contem o terceiro lado.
Ensino Superior ⇒ Geometria Analitica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2019
17
00:22
Re: Geometria Analitica
De r1 temos:
[tex3]\mathsf{t = \frac{x}{2}\rightarrow y = 3+\frac{x}{2}\\\
}[/tex3]
De r2:
[tex3]\mathsf{s = 2-x\rightarrow y = 4+2-x\rightarrow y=6-x\\\
}[/tex3]
Vértice: r1 [tex3]\cap [/tex3] r2:
[tex3]\mathsf{ 3+\frac{x}{2}=6-x\rightarrow x =2\rightarrow y = 6-2=4\\
V_A(2, 4)}[/tex3]
Sendo b a coordenada x do vértice B da reta r1 teremos a coordenada y = [tex3]\mathsf{3 + \frac{b}{2}}[/tex3]
Sendo c a coordenada x do vértice C da reta r2 teremos a coordenada y = [tex3]\mathsf{6-c }[/tex3]
Para determinar as coordenadas do baricentro, precisamos das coordenadas dos 3 vértices do triângulo.
Temos (XG, YG): (-1, 4)
[tex3]\mathsf{V_A(2, 4)\\
V_B(b, 3+2)\\
V_C(c, 6-c)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{X_G=\frac{X_A+X_B+X_C}{3}\rightarrow-1=\frac{2+b+c}{3} \rightarrow b+c = -5 (I)\\Y_G=\frac{Y_A+Y_B+Y_C}{3}\rightarrow4=\frac{4+(3+\frac{b}{2})+6-c}{3} \rightarrow \\12 = 13 +\frac{b}{2}-c\rightarrow \frac{b}{2}-c =-1(II)\\
I+II\rightarrow \frac{3b}{2}=-6\rightarrow b = -4\therefore c = -1\\
\\
Coordenada ~V_B:x = -4 \rightarrow y =3 - \frac{4}{2}=1 : \boxed{\mathsf{\color{red}V_B(-4, 1)}}\\
Coordenada V_C: x = -1\rightarrow y = 6 -(-1)1 = 7 : \boxed{\mathsf{\color{red}V_B(-1, 7)}} }[/tex3]
Para a equação da 3a reta usaremos as coordenadas dos vértices B e C:
[tex3]\mathsf{y=ax+b\rightarrow a = \frac{7-1}{-1-(-4)}=2\rightarrow y = 2a+b\\
(-4,1)\rightarrow 1 = 2(-4)+b\rightarrow b = 9\therefore \boxed{\mathsf{\color{Red} y=2x+9}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{t = \frac{x}{2}\rightarrow y = 3+\frac{x}{2}\\\
}[/tex3]
De r2:
[tex3]\mathsf{s = 2-x\rightarrow y = 4+2-x\rightarrow y=6-x\\\
}[/tex3]
Vértice: r1 [tex3]\cap [/tex3] r2:
[tex3]\mathsf{ 3+\frac{x}{2}=6-x\rightarrow x =2\rightarrow y = 6-2=4\\
V_A(2, 4)}[/tex3]
Sendo b a coordenada x do vértice B da reta r1 teremos a coordenada y = [tex3]\mathsf{3 + \frac{b}{2}}[/tex3]
Sendo c a coordenada x do vértice C da reta r2 teremos a coordenada y = [tex3]\mathsf{6-c }[/tex3]
Para determinar as coordenadas do baricentro, precisamos das coordenadas dos 3 vértices do triângulo.
Temos (XG, YG): (-1, 4)
[tex3]\mathsf{V_A(2, 4)\\
V_B(b, 3+2)\\
V_C(c, 6-c)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{X_G=\frac{X_A+X_B+X_C}{3}\rightarrow-1=\frac{2+b+c}{3} \rightarrow b+c = -5 (I)\\Y_G=\frac{Y_A+Y_B+Y_C}{3}\rightarrow4=\frac{4+(3+\frac{b}{2})+6-c}{3} \rightarrow \\12 = 13 +\frac{b}{2}-c\rightarrow \frac{b}{2}-c =-1(II)\\
I+II\rightarrow \frac{3b}{2}=-6\rightarrow b = -4\therefore c = -1\\
\\
Coordenada ~V_B:x = -4 \rightarrow y =3 - \frac{4}{2}=1 : \boxed{\mathsf{\color{red}V_B(-4, 1)}}\\
Coordenada V_C: x = -1\rightarrow y = 6 -(-1)1 = 7 : \boxed{\mathsf{\color{red}V_B(-1, 7)}} }[/tex3]
Para a equação da 3a reta usaremos as coordenadas dos vértices B e C:
[tex3]\mathsf{y=ax+b\rightarrow a = \frac{7-1}{-1-(-4)}=2\rightarrow y = 2a+b\\
(-4,1)\rightarrow 1 = 2(-4)+b\rightarrow b = 9\therefore \boxed{\mathsf{\color{Red} y=2x+9}}}[/tex3]
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