Ensino Superior ⇒ Equação diferencial (Calculo IV) Tópico resolvido

[CabeçãoMG]

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis.
Resolvendo a equação diferencial exata (3[tex3]x^{2}[/tex3] + 2[tex3]y^{2}[/tex3]) dx + (4xy + 6[tex3]y^{2}[/tex3]) dy = 0 , obtém-se uma função y(x). Se o ponto y(1) = -2 pertence a esta função, então pode-se afirmar que essa função, no ponto dado, é:

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[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]M(x,y)=3x^2+2y^2→\frac{\partial M}{\partial y}=4y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M(x,y)=3x^2+2y^2→\frac{\partial M}{\partial y}=4y[/tex3]

e

[tex3]N(x,y)=4xy+6y^2→\frac{\partial N}{\partial x}=4y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N(x,y)=4xy+6y^2→\frac{\partial N}{\partial x}=4y[/tex3]

Como [tex3]\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}[/tex3]

, o que confirma que realmente a EDO é exata!

Então, ∃g( x , y ) = C , tal que

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\partial g}{\partial x}=\int\limits_{}^{}M(x,y)dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\partial g}{\partial x}=\int\limits_{}^{}M(x,y)dx[/tex3]

[tex3]g(x,y)=\int\limits_{}^{}(3x^2+2y^2)dx[/tex3]

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[tex3]g(x,y)=\int\limits_{}^{}(3x^2+2y^2)dx[/tex3]

g( x , y ) = x³ + 2y²x + K'( y ) ( I )

Derivando g( x , y ) em relação à y , vem;

[tex3]\frac{\partial g}{\partial y}=4xy+K'(y)[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial g}{\partial y}=4xy+K'(y)[/tex3]

Daí;

4xy + K'( y ) = N( x , y )

4xy + K'( y ) = 4xy + 6y²

[tex3]\int\limits_{}^{}K'(y)=6\int\limits_{}^{}y^2 \ dy[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}K'(y)=6\int\limits_{}^{}y^2 \ dy[/tex3]

K( y ) = 2y³ + c ( I I )


Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos:

g( x , y ) = x³ + 2xy² + 2y³ + c


Como g( x , y ) = C , fica;

C = x³ + 2xy² + 2y³ + c

C - c = x³ + 2xy² + 2y³

k = x³ + 2xy² + 2y³

Ou

k = x³ + 2x[ y(x) ]² + 2[ y(x) ]³

Como y( 1 ) = - 2, efetuando a substituição, temos

k = 1³ + 2.1.( - 2 )² + 2.( - 2 )³

k = 1 + 2.4 + 2.( - 8 )

k = 1 + 8 - 16

k = - 7

Portanto, x³ + 2xy² + 2y³ = - 7.


Nota

Ou você( talvez tenha sido erro do autor ou a pessoa que digitou tenha esquecido o sinal de - ) esqueceu o sinal negativo na alternativa que contém o 7 , ou então é y( 1 ) = 2, que no caso daria como resposta x³ + 2xy² + 2y³ = 25.


Bons estudos!

[CabeçãoMG]

Vc está certo Cardoso, o professor anulou a questão. Obrigado pela ajuda!

[Cardoso1979]

Vc está certo Cardoso, o professor anulou a questão. Obrigado pela ajuda!

Modéstia parte, eu já sabia

Abraços!