Quando falamos em campos existem três operações que são indispensáveis: gradiente, divergente e rotacional.
Considere o campo vetorial F(x,y,z)=xyzi − x2yk o rotacional vale:
Ensino Superior ⇒ Calculo 3 gradiente rotacional Tópico resolvido
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Ago 2019
21
10:26
Re: Calculo 3 gradiente rotacional
Observe
Solução:
[tex3]F(x,y,z)=xyz.\vec{i}-x^2y.\vec{k}[/tex3]
Ou
[tex3]F(x,y,z)=xyz.\vec{i}+0.\vec{j}-x^2y.\vec{k}[/tex3]
Sendo P = xyz , Q = 0 e R = - x²y
Assim, o rotacional é dado por
[tex3]rot \ F=\bigtriangledown \wedge F=\left[ \begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\
P & Q & R
\end{array} \right][/tex3]
[tex3]rot \ F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}[/tex3]
[tex3]rot \ F=\left(\frac{\partial (-x^2y)}{\partial y}-\frac{\partial (0)}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial (xyz)}{\partial z}-\frac{\partial (-x^2y)}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial (0)}{\partial x}-\frac{\partial (xyz)}{\partial y}\right)\vec{k}[/tex3]
[tex3]rot \ F=(-x^2-0)\vec{i}+[xy-(-2xy)]\vec{j}+(0-xz)\vec{k}[/tex3]
[tex3]rot \ F=-x^2.\vec{i}+(xy+2xy).\vec{j}-xz.\vec{k}[/tex3]
Portanto,
[tex3]rot \ F=-x^2.\vec{i}+3xy.\vec{j}-xz.\vec{k}[/tex3]
Ou
rot F = ( - x² , 3xy , - xz )
Bons estudos!
Solução:
[tex3]F(x,y,z)=xyz.\vec{i}-x^2y.\vec{k}[/tex3]
Ou
[tex3]F(x,y,z)=xyz.\vec{i}+0.\vec{j}-x^2y.\vec{k}[/tex3]
Sendo P = xyz , Q = 0 e R = - x²y
Assim, o rotacional é dado por
[tex3]rot \ F=\bigtriangledown \wedge F=\left[ \begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\
P & Q & R
\end{array} \right][/tex3]
[tex3]rot \ F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}[/tex3]
[tex3]rot \ F=\left(\frac{\partial (-x^2y)}{\partial y}-\frac{\partial (0)}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial (xyz)}{\partial z}-\frac{\partial (-x^2y)}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial (0)}{\partial x}-\frac{\partial (xyz)}{\partial y}\right)\vec{k}[/tex3]
[tex3]rot \ F=(-x^2-0)\vec{i}+[xy-(-2xy)]\vec{j}+(0-xz)\vec{k}[/tex3]
[tex3]rot \ F=-x^2.\vec{i}+(xy+2xy).\vec{j}-xz.\vec{k}[/tex3]
Portanto,
[tex3]rot \ F=-x^2.\vec{i}+3xy.\vec{j}-xz.\vec{k}[/tex3]
Ou
rot F = ( - x² , 3xy , - xz )
Bons estudos!
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