Ensino Superior ⇒ volume - integral Tópico resolvido

[Felipe22]

(Fuvest-SP) Um sólido, que tem aspecto de uma forma de pudim, é obtido por rotação em torno do eixo x da região compreendida entre as retas x=0,
x = 1, y = x + 3 e y = -x + 2. Qual é o volume do sólido?
gab: 10 pi

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Chamando f( x ) = x + 3 e g( x ) = - x + 2 , temos que:

[tex3]V=\int\limits_{a}^{b}\{[f(x)]^2-[g(x)]^2\}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{a}^{b}\{[f(x)]^2-[g(x)]^2\}dx[/tex3]

Desenhando a região ( gráfico ) , você encontrará facilmente que o intervalo/domínio de integração é [ 0 , 1 ] , assim,

[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}[(x+3)^2-(-x+2)^2]dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}[(x+3)^2-(-x+2)^2]dx[/tex3]

Desenvolvendo , resulta que;

[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}(10x+5)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π\int\limits_{0}^{1}(10x+5)dx[/tex3]

[tex3]V=π.[\frac{10x^2}{2}+5x]_{0}^{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.[\frac{10x^2}{2}+5x]_{0}^{1}[/tex3]

[tex3]V=π.[5x^2+5x]_{0}^{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.[5x^2+5x]_{0}^{1}[/tex3]

V = π.( 5.1² + 5.1 - 5.0² - 5.0 )

V = π.( 5 + 5 )

Logo,

V = 10π u.v.



O gráfico ficará como exercício para você



Bons estudos!