Ensino Superior

Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta AB, em torno do eixo dos x, sendo A = (1,1) e B = (2,3).

resp: 7pi/3

Observe

Solução:

Primeiramente vamos encontrar a reta( função ) que passa por A e por B, calculando o coeficiente angular da reta, vem;

[tex3]m_{r}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}[/tex3]

[tex3]m_{r}=\frac{3-1}{2-1}[/tex3]

[tex3]m_{r}=\frac{2}{1}[/tex3]

[tex3]m_{r}=2[/tex3]

Daí;

[tex3]y-y_{o}=m_{r}(x-x_{o})[/tex3]

Tomando o ponto A( 1 , 1 ) , temos que;

y - 1 = 2( x - 1 )

y = 2x - 2 + 1

y = f(x) = 2x - 1

Agora vamos usar a fórmula para determinar o volume de um sólido quando este é obtido através da rotação em torno do eixo dos x, vem;

[tex3]V=π\int\limits_{a}^{b}[f(x)]^2dx[/tex3]

Como o volume do tronco de cone é gerado pela rotação do segmento de reta AB, então o domínio é x [tex3]\in [/tex3] [ 1 , 2 ] ( são justamente os pontos de abscissas dos pontos A e B ).

[tex3]V=π\int\limits_{1}^{2}(2x-1)^2dx[/tex3]

[tex3]V=π\int\limits_{1}^{2}(4x^2-4x+1)dx[/tex3]

[tex3]V=π[\frac{4x^3}{3}-2x^2+x]_{1}^{2}[/tex3]

[tex3]V=π(\frac{4.2^3}{3}-2.2^2+2-\frac{4.1^3}{3}+2.1^2-1)[/tex3]

[tex3]V=π(\frac{32}{3}-8+2-\frac{4}{3}+2-1)[/tex3]

[tex3]V=π(\frac{28}{3}-5)[/tex3]

[tex3]V=π(\frac{28-15}{3})[/tex3]

Portanto,

[tex3]V=\frac{13π}{3}u.v.[/tex3]

Bons estudos!

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