Ensino Superiorarea entre curvas - integral Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Felipe22
Avançado
Mensagens: 141
Registrado em: Qui 30 Mai, 2019 17:27
Última visita: 08-03-20
Ago 2019 01 09:42

area entre curvas - integral

Mensagem não lida por Felipe22 »

Considere os gráficos das funções f(x) = -x^2 + 4x e g(x) = x^3 - 6x^2 + 8x, onde A, B e O são os pontos de interseção desses gráficos. A área da região sombreada vale:
a) 11,50
b) 11,75
c) 11,00
d) 11,25
Anexos
grafico 4.png
grafico 4.png (205.23 KiB) Exibido 153 vezes




Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 2092
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 05-03-20
Localização: Teresina- PI
Ago 2019 01 19:33

Re: area entre curvas - integral

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Fazendo a intersecção de g( x ) com f( x ) , temos que :

g( x ) = f( x )

x³ - 6x² + 8x = - x² + 4x

x³ - 5x² + 4x = 0

x.( x² - 5x + 4 ) = 0

x = 0

Ainda;

x² - 5x + 4 = 0

∆ = 9

Logo , x = 4 , x = 1.

Por outro lado, substituindo x = 0 , x = 4 e x = 1 em f( x ) ou em g( x ) ,tanto faz, vou substituir em f( x ) , assim , encontraremos os pontos de Interseções A , B e O , vem;

Para x = 0, fica;

y = f( x ) = - 0² + 4.0 → y = 0 → O( 0 , 0 ).


Para x = 1, temos:

y = f( x ) = - 1² + 4.1 = - 1 + 4 → y = 3 → A( 1 , 3 ).


Para x = 4, vem;

y = f( x ) = - 4² + 4.4 = - 16 + 16 → y = 0 → B( 4 , 0 ).

O que vai nos interessar é somente os pontos de abscissas do ponto A e do ponto B, ou seja , x = 1 e x = 4 , que é o nosso limite de integração ( intervalo/domínio fechado [ 1 , 4 ] ).

Assim, a área da região sombreada é dada por:

[tex3]A_{S}=\int\limits_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx[/tex3]

[tex3]A_{S}=\int\limits_{1}^{4}(-x^2+4x-x^3+6x^2-8x)dx[/tex3]

[tex3]A_{S}=\int\limits_{1}^{4}(-x^3+5x^2-4x)dx[/tex3]

[tex3]A_{S}=[-\frac{x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}-2x^2]_{1}^{4}[/tex3]

[tex3]A_{S}=(-\frac{4^4}{4}+\frac{5.4
^3}{3}-2.4^2 +\frac{1^4}{4}-\frac{5.1^
3}{3}+2.1^2)[/tex3]

[tex3]A_{S}=-64+\frac{320}{3}-32+\frac{1}{4}-\frac{5}{3}+2[/tex3]

[tex3]A_{S}=-94+105+\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]A_{S}=11+\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]A_{S}=\frac{44+1}{4}[/tex3]

[tex3]A_{S}=\frac{45}{4}[/tex3]

Ou

As = 11,25 u.a.


Portanto, a área da região sombreada vale 11,25 u.a. , alternativa d).



Bons estudos!




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”