Considere os gráficos das funções f(x) = -x^2 + 4x e g(x) = x^3 - 6x^2 + 8x, onde A, B e O são os pontos de interseção desses gráficos. A área da região sombreada vale:
a) 11,50
b) 11,75
c) 11,00
d) 11,25
Ensino Superior ⇒ area entre curvas - integral Tópico resolvido
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Ago 2019
01
19:33
Re: area entre curvas - integral
Observe
Uma solução:
Fazendo a intersecção de g( x ) com f( x ) , temos que :
g( x ) = f( x )
x³ - 6x² + 8x = - x² + 4x
x³ - 5x² + 4x = 0
x.( x² - 5x + 4 ) = 0
x = 0
Ainda;
x² - 5x + 4 = 0
∆ = 9
Logo , x = 4 , x = 1.
Por outro lado, substituindo x = 0 , x = 4 e x = 1 em f( x ) ou em g( x ) ,tanto faz, vou substituir em f( x ) , assim , encontraremos os pontos de Interseções A , B e O , vem;
Para x = 0, fica;
y = f( x ) = - 0² + 4.0 → y = 0 → O( 0 , 0 ).
Para x = 1, temos:
y = f( x ) = - 1² + 4.1 = - 1 + 4 → y = 3 → A( 1 , 3 ).
Para x = 4, vem;
y = f( x ) = - 4² + 4.4 = - 16 + 16 → y = 0 → B( 4 , 0 ).
O que vai nos interessar é somente os pontos de abscissas do ponto A e do ponto B, ou seja , x = 1 e x = 4 , que é o nosso limite de integração ( intervalo/domínio fechado [ 1 , 4 ] ).
Assim, a área da região sombreada é dada por:
[tex3]A_{S}=\int\limits_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx[/tex3]
[tex3]A_{S}=\int\limits_{1}^{4}(-x^2+4x-x^3+6x^2-8x)dx[/tex3]
[tex3]A_{S}=\int\limits_{1}^{4}(-x^3+5x^2-4x)dx[/tex3]
[tex3]A_{S}=[-\frac{x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}-2x^2]_{1}^{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=(-\frac{4^4}{4}+\frac{5.4
^3}{3}-2.4^2 +\frac{1^4}{4}-\frac{5.1^
3}{3}+2.1^2)[/tex3]
[tex3]A_{S}=-64+\frac{320}{3}-32+\frac{1}{4}-\frac{5}{3}+2[/tex3]
[tex3]A_{S}=-94+105+\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=11+\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=\frac{44+1}{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=\frac{45}{4}[/tex3]
Ou
As = 11,25 u.a.
Portanto, a área da região sombreada vale 11,25 u.a. , alternativa d).
Bons estudos!
Uma solução:
Fazendo a intersecção de g( x ) com f( x ) , temos que :
g( x ) = f( x )
x³ - 6x² + 8x = - x² + 4x
x³ - 5x² + 4x = 0
x.( x² - 5x + 4 ) = 0
x = 0
Ainda;
x² - 5x + 4 = 0
∆ = 9
Logo , x = 4 , x = 1.
Por outro lado, substituindo x = 0 , x = 4 e x = 1 em f( x ) ou em g( x ) ,tanto faz, vou substituir em f( x ) , assim , encontraremos os pontos de Interseções A , B e O , vem;
Para x = 0, fica;
y = f( x ) = - 0² + 4.0 → y = 0 → O( 0 , 0 ).
Para x = 1, temos:
y = f( x ) = - 1² + 4.1 = - 1 + 4 → y = 3 → A( 1 , 3 ).
Para x = 4, vem;
y = f( x ) = - 4² + 4.4 = - 16 + 16 → y = 0 → B( 4 , 0 ).
O que vai nos interessar é somente os pontos de abscissas do ponto A e do ponto B, ou seja , x = 1 e x = 4 , que é o nosso limite de integração ( intervalo/domínio fechado [ 1 , 4 ] ).
Assim, a área da região sombreada é dada por:
[tex3]A_{S}=\int\limits_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx[/tex3]
[tex3]A_{S}=\int\limits_{1}^{4}(-x^2+4x-x^3+6x^2-8x)dx[/tex3]
[tex3]A_{S}=\int\limits_{1}^{4}(-x^3+5x^2-4x)dx[/tex3]
[tex3]A_{S}=[-\frac{x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}-2x^2]_{1}^{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=(-\frac{4^4}{4}+\frac{5.4
^3}{3}-2.4^2 +\frac{1^4}{4}-\frac{5.1^
3}{3}+2.1^2)[/tex3]
[tex3]A_{S}=-64+\frac{320}{3}-32+\frac{1}{4}-\frac{5}{3}+2[/tex3]
[tex3]A_{S}=-94+105+\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=11+\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=\frac{44+1}{4}[/tex3]
[tex3]A_{S}=\frac{45}{4}[/tex3]
Ou
As = 11,25 u.a.
Portanto, a área da região sombreada vale 11,25 u.a. , alternativa d).
Bons estudos!
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