Ensino Superior ⇒ Derivadas Tópico resolvido

[Mfarits]

Encontre a derivada da função [tex3]y=cos^{-1}(\frac{b+acosx}{a+bcosx}). 0\leq x\leq \pi , a>b>0.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=cos^{-1}(\frac{b+acosx}{a+bcosx}). 0\leq x\leq \pi , a>b>0.[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]y=arc \ cos \left(\frac{b+acosx}{a+bcosx}\right)[/tex3]

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[tex3]y=arc \ cos \left(\frac{b+acosx}{a+bcosx}\right)[/tex3]

Derivando, fica;

[tex3]y'=\left[arc \ cos \left(\frac{b+acosx}{a+bcosx}\right)\right]'[/tex3]

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[tex3]y'=\left[arc \ cos \left(\frac{b+acosx}{a+bcosx}\right)\right]'[/tex3]

[tex3]y'=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{b+acos (x)}{a+bcos(x)}\right)^2}}\frac{[a+bcos(x)][-asen(x)]-[b+acos(x)][-bsen(x)]}{[a+bcos(x)]^2}[/tex3]

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[tex3]y'=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{b+acos (x)}{a+bcos(x)}\right)^2}}\frac{[a+bcos(x)][-asen(x)]-[b+acos(x)][-bsen(x)]}{[a+bcos(x)]^2}[/tex3]

[tex3]y'=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2cos^2(x)-b^2-a^2cos^2(x)}}\frac{(a^2-b^2)sen (x)}{|a+bcos(x)|}[/tex3]

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[tex3]y'=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2cos^2(x)-b^2-a^2cos^2(x)}}\frac{(a^2-b^2)sen (x)}{|a+bcos(x)|}[/tex3]

[tex3]y'=\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}\sqrt{1-cos^2(x)}}\frac{(a^2-b^2)sen (x)}{|a+bcos(x)|}[/tex3]

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[tex3]y'=\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}\sqrt{1-cos^2(x)}}\frac{(a^2-b^2)sen (x)}{|a+bcos(x)|}[/tex3]

[tex3]y'=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|a+bcos(x)|}\frac{sen (x)}{|sen (x)|}[/tex3]

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[tex3]y'=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|a+bcos(x)|}\frac{sen (x)}{|sen (x)|}[/tex3]

Mas, 0 ≤ x ≤ π , então | sen (x) | = sen (x). Também a > b > 0 → bcos(x) ≥ - b > - a , logo a + bcos(x) > 0. Assim,

[tex3]y'=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+bcos(x)}[/tex3]

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[tex3]y'=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+bcos(x)}[/tex3]

Bons estudos!