Ensino Superior

Seja V o espaço vetorial das matrizes 2x2 sobre R, e seja W o subespaço gerado por

[ 1 -5] , [1 1] , [2 -4] , [1 -7]
[ -4 2] [-1 5] [-5 7] [-5 1]

Encontre uma base, e a dimensão de W.

[tex3]\begin{pmatrix}-1 & 5 \\ -4 & 2 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 5 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 & -4 \\ -5 & 7 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & -7 \\ -5 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex3]
Vamos escrever cada uma das matrizes como coordenadas em relação à base canônica [tex3]\left\{\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}\right\}[/tex3] .
[tex3]\begin{pmatrix}-1 & 5 \\ -4 & 2 \\ \end{pmatrix}=(-1,5,-4,2)[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 5 \\ \end{pmatrix}=(1,1,-1,5)[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}2 & -4 \\ -5 & 7 \\ \end{pmatrix}=(2,-4,-5,7)[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}1 & -7 \\ -5 & 1 \\ \end{pmatrix}=(1,-7,-5,1)[/tex3]

Vamos usar o método do escalonamento para saber se o conjunto [tex3]\{(-1,5,-4,2),(1,1,-1,5),(2,-4,-5,7),(1,-7,-5,1)\}[/tex3] é LI
[tex3]\begin{pmatrix}-1 & 5 & -4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 5 \\ 2 & -4 & -5 & 7 \\ 1 & -7 & -5 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}-1 & 5 & -4 & 2 \\ 0 & 6 & -5 & 7 \\ 0 & 6 & -13 & 11 \\ 0 & -2 & -9 & 3 \\\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}-1 & 5 & -4 & 2 \\ 0 & 6 & -5 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 0 & 32 & -16 \\\end{pmatrix}[/tex3]
Note que as duas últimas linhas são múltiplas, isso significa que (1,-7,-5,1) é combinação linear dos demais vetores.
Assim temos que [tex3]W=[(-1,5,-4,2),(1,1,-1,5),(2,-4,-5,7),(1,-7,-5,1)]=[(-1,5,-4,2),(1,1,-1,5),(2,-4,-5,7)][/tex3]
Então [tex3]\{(-1,5,-4,2),(1,1,-1,5),(2,-4,-5,7)\}[/tex3] é conjunto gerador de [tex3]W[/tex3] e é LI (já provamos isso quando usamos o método do escalonament0, basta seguir os mesmos passos sem a última linha)
[tex3]\therefore\{(-1,5,-4,2),(1,1,-1,5),(2,-4,-5,7)\}=\left\{\begin{pmatrix}-1 & 5 \\ -4 & 2 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 5 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 & -4 \\ -5 & 7 \\ \end{pmatrix}\right\} [/tex3] é base de [tex3]W[/tex3] e [tex3]dimW=3[/tex3]

Espero ter ajudado

.

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