Olá, bom dia!
Estou precisando entender como resolver questões desse tipo:
Para cada equação abaixo, determine o ângulo de rotação que elimina o termo misto e reescreva a eq. equivalente desprovida do termo misto e esboce a curva:
[tex3]x^2+y^2+8x-8y+2xy = 0[/tex3]
[tex3]2x+y^2+\sqrt3+xy = 0[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Equação com rotação Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Jul 2019
17
19:32
Re: Equação com rotação
Observe
Obs. Como são duas questões, irei resolver somente uma ( você infringiu em uma das regras deste fórum ) , seguindo a ordem , vou resolver x² + y² + 8x - 8y + 2xy = 0.
Uma solução:
Para efetuar uma rotação α do sistema xOy , em torno de O, no sentido anti-horário, basta fazer as mudanças de variáveis:
[tex3]\begin{cases}
x=Xcos(\alpha )-Ysen(\alpha ) \\
y=Xsen(\alpha )+Ycos(\alpha )
\end{cases}[/tex3]
Temos, então:
[tex3][Xcos(\alpha )-Ysen(\alpha )]^{2}+[Xsen(\alpha )+Ycos(\alpha )]^{2}+8Xcos(\alpha )-8Ysen(\alpha )-8Xsen(\alpha )-8Ycos(\alpha )+2[Xcos(\alpha )-Ysen(\alpha )][Xsen(\alpha )+Ycos(\alpha )]=0[/tex3]
[tex3]X^{2}cos^2(\alpha )-2XYcos(\alpha )sen(\alpha )+Y^2sen^2(\alpha )+X^2sen^2(\alpha )+2XYcos(\alpha )sen(\alpha )+Y^2cos^2(\alpha )+8Xcos(\alpha )-8Ysen(\alpha )-8Xsen(\alpha )-8Ycos(\alpha )+2[X^2cos(\alpha )sen(\alpha )+XYcos^2(\alpha )-XYsen^2(\alpha )-Y^2cos(\alpha )sen(\alpha )]=0[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]X^{2}+Y^2+8Xcos(\alpha )-8Xsen(\alpha )-8Ycos(\alpha )-8Ysen(\alpha )+2[X^2cos (\alpha )sen (\alpha )-Y^2cos(\alpha )sen (\alpha )+XYcos^2(\alpha )-XYsen^2(\alpha )]=0 [/tex3]
[tex3]X^{2}+Y^2+8X[cos (\alpha )-sen(\alpha )]-8Y[cos (\alpha )+sen (\alpha )]+2(X^2-Y^2)[cos (\alpha )sen (\alpha )]+XY[cos^2(\alpha )-sen^2(\alpha )]=0 \ ( I )[/tex3]
Note que o coeficiente do produto XY é cos²(α) - sen²(α).
Assim, a rotação que nos convém para eliminar o produto XY é aquela em que:
cos²(α) - sen²(α) = 0
cos²(α) = sen²(α)
Ou seja:
cos(α) = sen(α) ou cos(α) = - sen(α).
Qualquer uma das duas igualdades resolve o problema. Tomemos, por exemplo , a primeira:
[tex3]cos (\alpha )=sen (\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] .
Substituindo [tex3]cos (\alpha )=sen (\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] em ( I ), obtemos:
[tex3]X^2+Y^2+8X\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-8Y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2(X^2-Y^2)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+XY\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=0[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
X² + Y² - 8Y(√2) + X² - Y² = 0
2X² - 8Y(√2) = 0
X² = 4Y(√2)
( X - 0 )² = 4√2.( Y - 0 ) → Parábola vertical.
Temos uma parábola onde a diretriz é paralela ao eixo Ox e a concavidade voltada para o sentido positivo do eixo Oy( concavidade voltada para cima ), então , comparando com a equação [tex3](x-x_{o})^2=2p(y-y_{o})[/tex3] , temos que:
Determinando o vértice da parábola, fica;
[tex3]x_{o}=0 \ , \ y_{o}=0→V(x_{o},y_{o})=V(0,0)→vértice \ da \ parábola[/tex3]
Determinando o parâmetro da parábola, vem;
2p = 4√2 → p = 2√2
Determinando o foco da parábola, temos:
[tex3]F(x_{o},y_{o}+\frac{p}{2})→F(0,0+
\frac{2\sqrt{2}}{2})→F(0,\sqrt{2})→Foco \ da \ parábola[/tex3]
Determinando a diretriz da parábola, vem;
[tex3]y=y_{o}-\frac{p}{2}→y=0-\frac{2\sqrt{2}}{2}[/tex3] → y = - √2 → reta diretriz.
Por definição , a excentricidade de toda e qualquer parábola será sempre igual a um ( 1 ). Logo, e = 1.
Graficamente:
Detalhes adicionais:
O ângulo de rotação usado foi α = 45°.
Obs. Confira os cálculos, pois , eu posso ter deixado passar alguma coisa despercebido.
Bons estudos!
Obs. Como são duas questões, irei resolver somente uma ( você infringiu em uma das regras deste fórum ) , seguindo a ordem , vou resolver x² + y² + 8x - 8y + 2xy = 0.
Uma solução:
Para efetuar uma rotação α do sistema xOy , em torno de O, no sentido anti-horário, basta fazer as mudanças de variáveis:
[tex3]\begin{cases}
x=Xcos(\alpha )-Ysen(\alpha ) \\
y=Xsen(\alpha )+Ycos(\alpha )
\end{cases}[/tex3]
Temos, então:
[tex3][Xcos(\alpha )-Ysen(\alpha )]^{2}+[Xsen(\alpha )+Ycos(\alpha )]^{2}+8Xcos(\alpha )-8Ysen(\alpha )-8Xsen(\alpha )-8Ycos(\alpha )+2[Xcos(\alpha )-Ysen(\alpha )][Xsen(\alpha )+Ycos(\alpha )]=0[/tex3]
[tex3]X^{2}cos^2(\alpha )-2XYcos(\alpha )sen(\alpha )+Y^2sen^2(\alpha )+X^2sen^2(\alpha )+2XYcos(\alpha )sen(\alpha )+Y^2cos^2(\alpha )+8Xcos(\alpha )-8Ysen(\alpha )-8Xsen(\alpha )-8Ycos(\alpha )+2[X^2cos(\alpha )sen(\alpha )+XYcos^2(\alpha )-XYsen^2(\alpha )-Y^2cos(\alpha )sen(\alpha )]=0[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]X^{2}+Y^2+8Xcos(\alpha )-8Xsen(\alpha )-8Ycos(\alpha )-8Ysen(\alpha )+2[X^2cos (\alpha )sen (\alpha )-Y^2cos(\alpha )sen (\alpha )+XYcos^2(\alpha )-XYsen^2(\alpha )]=0 [/tex3]
[tex3]X^{2}+Y^2+8X[cos (\alpha )-sen(\alpha )]-8Y[cos (\alpha )+sen (\alpha )]+2(X^2-Y^2)[cos (\alpha )sen (\alpha )]+XY[cos^2(\alpha )-sen^2(\alpha )]=0 \ ( I )[/tex3]
Note que o coeficiente do produto XY é cos²(α) - sen²(α).
Assim, a rotação que nos convém para eliminar o produto XY é aquela em que:
cos²(α) - sen²(α) = 0
cos²(α) = sen²(α)
Ou seja:
cos(α) = sen(α) ou cos(α) = - sen(α).
Qualquer uma das duas igualdades resolve o problema. Tomemos, por exemplo , a primeira:
[tex3]cos (\alpha )=sen (\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] .
Substituindo [tex3]cos (\alpha )=sen (\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] em ( I ), obtemos:
[tex3]X^2+Y^2+8X\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-8Y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2(X^2-Y^2)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+XY\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=0[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
X² + Y² - 8Y(√2) + X² - Y² = 0
2X² - 8Y(√2) = 0
X² = 4Y(√2)
( X - 0 )² = 4√2.( Y - 0 ) → Parábola vertical.
Temos uma parábola onde a diretriz é paralela ao eixo Ox e a concavidade voltada para o sentido positivo do eixo Oy( concavidade voltada para cima ), então , comparando com a equação [tex3](x-x_{o})^2=2p(y-y_{o})[/tex3] , temos que:
Determinando o vértice da parábola, fica;
[tex3]x_{o}=0 \ , \ y_{o}=0→V(x_{o},y_{o})=V(0,0)→vértice \ da \ parábola[/tex3]
Determinando o parâmetro da parábola, vem;
2p = 4√2 → p = 2√2
Determinando o foco da parábola, temos:
[tex3]F(x_{o},y_{o}+\frac{p}{2})→F(0,0+
\frac{2\sqrt{2}}{2})→F(0,\sqrt{2})→Foco \ da \ parábola[/tex3]
Determinando a diretriz da parábola, vem;
[tex3]y=y_{o}-\frac{p}{2}→y=0-\frac{2\sqrt{2}}{2}[/tex3] → y = - √2 → reta diretriz.
Por definição , a excentricidade de toda e qualquer parábola será sempre igual a um ( 1 ). Logo, e = 1.
Graficamente:
- 15633974262764109047055987712687.jpg (16.55 KiB) Exibido 696 vezes
Detalhes adicionais:
O ângulo de rotação usado foi α = 45°.
Obs. Confira os cálculos, pois , eu posso ter deixado passar alguma coisa despercebido.
Bons estudos!
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bsabrunosouza 
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Cardoso1979
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Jul 2019
18
09:27
Re: Equação com rotação
Olá!
[tex3]X² + \cancel{Y^2} - 8Y(√2) + X² -\cancel{Y^2} = 0[/tex3]
X² + X² - 8Y(√2) = 0
2X² - 8Y(√2) = 0
Não sei se era essa a sua dúvida.
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