Ensino Superior ⇒ Integral Dupla Tópico resolvido
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Jul 2019
17
00:39
Integral Dupla
Calcule a integral [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B}^{}x^{2}y dV[/tex3]
, onde B é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5. (Dica: use coordenadas polares).-
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Jul 2019
17
06:44
Re: Integral Dupla
Observe
Solução:
O disco B descrito em coordenadas polares é: B = { ( r , θ ) / 0 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ π }.
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B}^{}x^2ydV=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{5}(rcos\theta )^2.(rsen\theta )rdrd\theta =[/tex3]
[tex3]\left(\int\limits_{0}^{π}cos^2(\theta )sen (\theta )d\theta \right).\left(\int\limits_{0}^{5}r^4dr\right)=[/tex3]
Obs.1 Para a primeira integral , você utiliza a seguinte substituição u = cos(θ) → du = -sen(θ) dθ → sen(θ) dθ = - du.
Resulta que;
[tex3]=[-\frac{1}{3}cos^3(\theta )]_{0}^{π}.[\frac{1}{5}r^5]_{0}^{5}=-\frac{1}{3}(-1-1).625=\frac{1250}{3}[/tex3]
Portanto, o valor da integral dada é [tex3]\frac{1250}{3}[/tex3] .
Obs.2
x = rcos(θ) , y = rsen(θ) e dxdy = dV = rdrdθ.
Nota
O gráfico ficará como exercício para você
Bons estudos!
Solução:
O disco B descrito em coordenadas polares é: B = { ( r , θ ) / 0 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ π }.
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B}^{}x^2ydV=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{5}(rcos\theta )^2.(rsen\theta )rdrd\theta =[/tex3]
[tex3]\left(\int\limits_{0}^{π}cos^2(\theta )sen (\theta )d\theta \right).\left(\int\limits_{0}^{5}r^4dr\right)=[/tex3]
Obs.1 Para a primeira integral , você utiliza a seguinte substituição u = cos(θ) → du = -sen(θ) dθ → sen(θ) dθ = - du.
Resulta que;
[tex3]=[-\frac{1}{3}cos^3(\theta )]_{0}^{π}.[\frac{1}{5}r^5]_{0}^{5}=-\frac{1}{3}(-1-1).625=\frac{1250}{3}[/tex3]
Portanto, o valor da integral dada é [tex3]\frac{1250}{3}[/tex3] .
Obs.2
x = rcos(θ) , y = rsen(θ) e dxdy = dV = rdrdθ.
Nota
O gráfico ficará como exercício para você
Bons estudos!
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