Ensino SuperiorIntegral Dupla Tópico resolvido

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Amandasousa
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Jul 2019 17 00:39

Integral Dupla

Mensagem não lida por Amandasousa »

Calcule a integral [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B}^{}x^{2}y dV[/tex3] , onde B é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5. (Dica: use coordenadas polares).




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Cardoso1979
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Jul 2019 17 06:44

Re: Integral Dupla

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

O disco B descrito em coordenadas polares é: B = { ( r , θ ) / 0 ≤ r ≤ 5 , 0 ≤ θ ≤ π }.

Assim,

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{B}^{}x^2ydV=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{5}(rcos\theta )^2.(rsen\theta )rdrd\theta =[/tex3]

[tex3]\left(\int\limits_{0}^{π}cos^2(\theta )sen (\theta )d\theta \right).\left(\int\limits_{0}^{5}r^4dr\right)=[/tex3]

Obs.1 Para a primeira integral , você utiliza a seguinte substituição u = cos(θ) → du = -sen(θ) dθ → sen(θ) dθ = - du.

Resulta que;

[tex3]=[-\frac{1}{3}cos^3(\theta )]_{0}^{π}.[\frac{1}{5}r^5]_{0}^{5}=-\frac{1}{3}(-1-1).625=\frac{1250}{3}[/tex3]


Portanto, o valor da integral dada é [tex3]\frac{1250}{3}[/tex3] .



Obs.2

x = rcos(θ) , y = rsen(θ) e dxdy = dV = rdrdθ.


Nota

O gráfico ficará como exercício para você 👍



Bons estudos!




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Amandasousa
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Jul 2019 17 09:48

Re: Integral Dupla

Mensagem não lida por Amandasousa »

Muito obrigado, professor!



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Cardoso1979
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Jul 2019 17 10:20

Re: Integral Dupla

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Amandasousa escreveu:
Qua 17 Jul, 2019 09:48
Muito obrigado, professor!

Disponha 😉👍




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