Ensino Superior

Considere a transformação linear T : R2 → R3, definida por T(x, y) = (2x+2y, x, y - x) Julgue as seguintes
afirmativas
Ⓞ A matriz que representa T em quaisquer bases tem 3 colunas.( FALSO)
① A transformação linear não é sobrejetora.( VERDADEIRO)
② Existe um vetor não nulo que é levado ao vetor zero.(FALSO)
③ O sistema Tx = v sempre tem solução para v na imagem da T.( VERDADEIRO)
④ A imagem de T é um plano que passa pela origem e tem vetor normal (0,4,2).(FALSO)

COmo faço para saber se é sobrejetora ou nao? Eu fiz assim dim(im(t))= dim(R3)
Separei os pares ordenados x e y: ( 2x, x, -x) + (2y, 0, y)
Coloquei em evidencia x(2,1, -1) +y(2, 0, 1) que é o conjunto fgerador, mas nao sei o que faço a seguir para continua. Eu continuei para encontrar o pivo e chguei a (1,0,0) e (0,1,0).se tem uma linha so com zero entao nao tem soluçao geradora, ou seja, nao gerou o espaço R3. Nao sei se esta certo isso, se puderem me ajudar eu agradeço. Esta e o resto

[tex3]T:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^3}[/tex3] linear dada por [tex3]T(x, y) = (2x+2y, x, y - x)[/tex3]

0) Numa transformação linear [tex3]F[/tex3] de [tex3]F:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^m}[/tex3] sua matriz representante é uma matrix [tex3]m\times n[/tex3]
Dessa forma, a matriz que representa [tex3]T[/tex3] tem 3 linhas e duas colunas.
[tex3]\therefore\boxed{0\hspace{1mm}FALSO}[/tex3]

Vamos encontrar o núcleo de T
[tex3]NucT=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:T(x,y)=(0,0,0)\}\\(x,y)\in NucT\implies\begin{cases}2x+2y=0\\x=0\\y-x=0\end{cases}\\\implies(x,y)=(0,0)\\\implies NucT=\{(0,0)\}\implies dimNucT=0[/tex3]

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos que
[tex3]dim\mathbb{R^2}=dimNucT+dimImT\\\implies dimImT=2[/tex3]

1) [tex3]dimImT=2\ne3=dim\mathbb{R^3}\implies T[/tex3] não é sobrejetora
[tex3]\therefore\boxed{1\hspace{1mm}VERDADEIRO}[/tex3]

2)[tex3]NucT=\{(0,0)\}[/tex3] então nenhum vetor não nulo é levado no nulo por T
[tex3]\therefore\boxed{2\hspace{1mm}FALSO}[/tex3]

3)[tex3]ImT=\{(x,y,z):existe\hspace {1mm}(x_0,y_0)\in\mathbb{R^2}\hspace{1mm}tal\hspace{1mm}que\hspace{1mm}T(x_0,y_0)=(x,y,z)\}[/tex3]
Então o sistema Tx = v sempre tem solução para v na imagem da T.
[tex3]\therefore\boxed{3\hspace{1mm}VERDADEIRO}[/tex3]

4)[tex3]v\in ImT\\\implies v=(2x+2y,x,-x+y)=(2x,x,-x)+(2y,0,y)=x(2,1,-1)+y(2,0,1)\\\implies ImT\subset[(2,1,-1),(2,0,1)][/tex3]
[tex3]\{(2,1,-1),(2,0,1)\}[/tex3] é LI pois um vetor não é múltiplo do outro, então temos que [tex3]dim[(2,1,-1),(2,0,1)]=2=dim ImT[/tex3] e [tex3]ImT\subset[(2,1,-1),(2,0,1)][/tex3]
[tex3]\implies ImT=[(2,1,-1),(2,0,1)][/tex3]
Assim temos que a imagem de T é um plano gerado pelos vetores [tex3](2,1,-1)[/tex3] e [tex3](2,0,1)[/tex3]
Note que [tex3]<(2,1,-1),(0,4,2)>=4-2=2\ne0[/tex3] então [tex3](0,4,2)[/tex3] não é vetor normal ao plano.
[tex3]\therefore\boxed{4\hspace{1mm}FALSO}[/tex3]

Espero ter ajudado

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Álgebra Linear

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