Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2019
12
16:36
Álgebra Linear
Seja V o conjunto dos números reais. Considere V como um espaço vetorial sobre o corpo dos números racionais, com a operação usual. Prove que esse espaço vetorial não tem uma base finita.
- It gets easier
- Bojack: Huh?
- Every day, it gets a little easier...But you gotta do it every day. That's the hard part...But it does get easier
- Bojack: Huh?
- Every day, it gets a little easier...But you gotta do it every day. That's the hard part...But it does get easier
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Jul 2019
12
17:56
Re: Álgebra Linear
suponha que a base de Hamel seja finita: [tex3]\mathcal H = (r_1,r_2,...,r_n)[/tex3]
escolha uma sequência de [tex3]n[/tex3] racionais quaisquer: [tex3]\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n[/tex3] .
Temos o númereo real: [tex3]r = \sum_{i=1}^n \alpha_ir_i[/tex3]
olhemos então para o número real [tex3]r + \sqrt2 r_1 = (\alpha_1+\sqrt2)r_1 + \sum \alpha_ir_i[/tex3]
Sejam [tex3]\beta_1,\beta_2,...,\beta_n[/tex3] as coordenadas racionais deste número acima
[tex3]\sum \beta _i r_i = r_1(\alpha_1+\sqrt2) + \sum \alpha_ir_i[/tex3]
logo
[tex3]\sum (\beta_i-\alpha_i)r_i + (\beta_1-\alpha_1-\sqrt2)r_1 =0[/tex3]
como a base é L.I:
[tex3]\beta_1 = \alpha_1 + \sqrt2[/tex3] ( absurdo)
[tex3]\beta _ i = \alpha_i[/tex3]
então a base de hamel não é finita. (Se fosse haveria uma bijeção entre R e Q^n = Q)
escolha uma sequência de [tex3]n[/tex3] racionais quaisquer: [tex3]\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n[/tex3] .
Temos o númereo real: [tex3]r = \sum_{i=1}^n \alpha_ir_i[/tex3]
olhemos então para o número real [tex3]r + \sqrt2 r_1 = (\alpha_1+\sqrt2)r_1 + \sum \alpha_ir_i[/tex3]
Sejam [tex3]\beta_1,\beta_2,...,\beta_n[/tex3] as coordenadas racionais deste número acima
[tex3]\sum \beta _i r_i = r_1(\alpha_1+\sqrt2) + \sum \alpha_ir_i[/tex3]
logo
[tex3]\sum (\beta_i-\alpha_i)r_i + (\beta_1-\alpha_1-\sqrt2)r_1 =0[/tex3]
como a base é L.I:
[tex3]\beta_1 = \alpha_1 + \sqrt2[/tex3] ( absurdo)
[tex3]\beta _ i = \alpha_i[/tex3]
então a base de hamel não é finita. (Se fosse haveria uma bijeção entre R e Q^n = Q)
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 12 Jul, 2019 17:57). Total de 1 vez.
Jul 2019
12
22:37
Re: Álgebra Linear
Muito obrigado sousóeu
A matemática é realmente incrível hein xD
A matemática é realmente incrível hein xD
- It gets easier
- Bojack: Huh?
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Jul 2019
13
00:09
Re: Álgebra Linear
sim, essa parte em especial: de escrever os reais como um corpo nos racionais e observar as relações entre esses conjuntos é bem interessante.
Um exemplo de coisa interessante desse tópico são os conjuntos de Vitali que são conjuntos de números reais que simplesmente não tem medida (nem zero, nem infinito nem nenhum número real). Também tem impacto em uma série de problemas de análise, equações funcionais, conjuntos, cardinalidades, etc.
Um exemplo de coisa interessante desse tópico são os conjuntos de Vitali que são conjuntos de números reais que simplesmente não tem medida (nem zero, nem infinito nem nenhum número real). Também tem impacto em uma série de problemas de análise, equações funcionais, conjuntos, cardinalidades, etc.
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