Ensino SuperiorDerivadas Tópico resolvido

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Felipe22
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Derivadas

Mensagem não lida por Felipe22 »

(FUVEST-SP) A reta tangente ao gráfico de [tex3]f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} [/tex3] que passa pelo ponto [tex3](1 , 1) [/tex3] tangencia o gráfico de [tex3]f[/tex3] no ponto de abscissa:
Resposta

[tex3]-\frac{1}{3} [/tex3]

Última edição: PedroCunha (Sex 12 Jul, 2019 13:09). Total de 1 vez.
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PedroCunha
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Re: Derivadas

Mensagem não lida por PedroCunha »

Boa noite!

Seja [tex3]r: y = ax+b [/tex3] a reta tangente. Como ela passa pelo ponto [tex3](1,1) [/tex3] , temos:

[tex3]

1 = a + b \therefore b = 1-a

[/tex3]

Logo, podemos reescrever a equação da reta como:

[tex3]

y = ax+(1-a) \therefore y = a \cdot (x-1) + 1

[/tex3]

O ponto de tangencia entre a reta e [tex3]f(x) [/tex3] é tal que:

[tex3]

\frac{x^2}{x^2-1} = a \cdot (x-1)+1 \therefore \cancel{x^2} = ax^3 -ax^2-ax+a+\cancel{x^2}-1 \therefore ax^3 - ax^2 -ax + (a-1)=0 \\\\ \therefore x^3-x^2-x+1-\frac{1}{a} = 0, a \neq 0

[/tex3]

Logo, basta que encontremos o valor de [tex3]a [/tex3] , que é justamente a inclinação da reta tangente. Portanto:

[tex3]

a = f'(x) \therefore a = \frac{2x \cdot (x^2-1) - x^2 \cdot (2x)}{(x^2-1)^2} \therefore a = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}

[/tex3]

Substituindo:

[tex3]

x^3-x^2-x+1+\frac{(x^2-1)^2}{2x} = 0 \therefore 2x^4-2x^3-2x^2+2x+(x^4-2x^2+1)=0 \therefore 3x^4-2x^3-4x^2+2x+1=0

[/tex3]

Agora é mais um pouco de trabalho braçal. Notando que [tex3]x = 1 [/tex3] é raiz da equação (no caso raiz dupla ), vamos aplicar Briot-Ruffini:

[tex3]

\begin{array} {c|c c c c c} 1 & 3 & -2 & -4 & 2 & 1 \\ \hline 1 & 3 & 1& -3& -1 & 0 \\ \hline & 3 & 4 & 1& 0 \end{array}

[/tex3]

Portanto,

[tex3]

3x^4-2x^3-4x^2+2x+1=0 \therefore (x-1)^2 \cdot (3x^2+4x+1) = 0 \therefore (x-1)^2 \cdot (x-1) \cdot \left(x +\frac{1}{3} \right) = 0

[/tex3]

Logo, as raízes são [tex3]x = \pm 1, x = -\frac{1}{3} [/tex3] . Como [tex3]\pm 1 \notin \mathbb{D}(f) [/tex3] , o único valor possível (e a resposta da questão) é [tex3]\boxed{\boxed{ x = -\frac{1}{3} }} [/tex3] .

Grande abraço,
Pedro.



"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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