Como eu mostro isso??
Sejam f : X [tex3]\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]
monótona e [tex3]a[/tex3]
[tex3]\in X^{'}+[/tex3]
. Se existir uma sequência
de pontos xn) [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]
com xn > [tex3]a[/tex3]
, lim xn = [tex3]a[/tex3]
e lim f(xn) = L então [tex3]\lim_{x \rightarrow a^{+}}[/tex3]
f(x) = L
Ensino Superior ⇒ Analise Real Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Jul 2019
11
16:19
Re: Analise Real
Observe
Demonstração:
Suponha f não decrescente, vamos mostrar que E = { f( x ) , x ∈ IR , x > a } é um conjunto limitado inferiormente.
Dado x arbitrário e fixo tal que x > a existe [tex3]x_{n}>a[/tex3] que satisfaz [tex3]x>x_{n}>a[/tex3] , pois lim [tex3]x_{n}[/tex3] = a , f não decrescente implica f( x ) ≥ f([tex3]x_{n}[/tex3] ) , como ( f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) ) é convergente, vale que tal sequência é limitada inferiormente, logo existe K tal que f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) > K ∀n ∈ IN , daí f(x) ≥ f([tex3]x_{n}[/tex3] ) > K para f( x ) ∈ E arbitrário, assim E é limitado inferiormente. Por E ser limitado inferiormente ele possui ínfimo.
Seja L' = inf E = inf { f( x ) , x ∈ IR , x > a } , vale que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L'[/tex3] , disso segue pelo critério de sequências para limite lateral que lim f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) = L' = L , pela unicidade de limite, portanto [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a^+}f(x)=L[/tex3] .
Nota
Propriedade: Seja f : A → IR monótona. Se existe ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) em A com [tex3]x_{n}>a[/tex3] , lim [tex3]x_{n}=a[/tex3] e lim f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) = L então [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a^+}f(x)=L[/tex3] .
Bons estudos!
Demonstração:
Suponha f não decrescente, vamos mostrar que E = { f( x ) , x ∈ IR , x > a } é um conjunto limitado inferiormente.
Dado x arbitrário e fixo tal que x > a existe [tex3]x_{n}>a[/tex3] que satisfaz [tex3]x>x_{n}>a[/tex3] , pois lim [tex3]x_{n}[/tex3] = a , f não decrescente implica f( x ) ≥ f([tex3]x_{n}[/tex3] ) , como ( f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) ) é convergente, vale que tal sequência é limitada inferiormente, logo existe K tal que f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) > K ∀n ∈ IN , daí f(x) ≥ f([tex3]x_{n}[/tex3] ) > K para f( x ) ∈ E arbitrário, assim E é limitado inferiormente. Por E ser limitado inferiormente ele possui ínfimo.
Seja L' = inf E = inf { f( x ) , x ∈ IR , x > a } , vale que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L'[/tex3] , disso segue pelo critério de sequências para limite lateral que lim f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) = L' = L , pela unicidade de limite, portanto [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a^+}f(x)=L[/tex3] .
Nota
Propriedade: Seja f : A → IR monótona. Se existe ( [tex3]x_{n}[/tex3] ) em A com [tex3]x_{n}>a[/tex3] , lim [tex3]x_{n}=a[/tex3] e lim f( [tex3]x_{n}[/tex3] ) = L então [tex3]\lim_{x \rightarrow \ a^+}f(x)=L[/tex3] .
Bons estudos!
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