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Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 19:37
por thetruth
[tex3]f(x)=\left\{\begin{array}{llc}
\frac{x^{2}-4}{x-2} & \text{ se } &x<2 \\
ax^{2}-bx+3 & \text{ se }& 2\leq x <3 \\
2x-a+b &\text{ se }& x\geq 3
\end{array}\right.[/tex3]

Alguém poderia me ajudar nessa questão?

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 21:56
por erihh3
Basta satisfazer os limites laterias nesse caso.

[tex3]\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^-} f(x)\quad (i)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^-} f(x)\quad (ii)[/tex3]

-Analisando (i):

Lembrando que [tex3]x^2-4=(x+2)(x-2)\Rightarrow \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2[/tex3]

[tex3]\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^-} f(x)[/tex3]
[tex3]4a-2b+3=2+2[/tex3]
[tex3]4a-2b=1\quad (iii)[/tex3]

-Analisando (ii):

[tex3]\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^-} f(x)[/tex3]
[tex3]6-a+b=9a-3b+3[/tex3]
[tex3]10a-4b=3\quad (iv)[/tex3]

Basta, agora, resolver o sistema:

[tex3]\begin{cases}
4a-2b=1\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]

Com isso,

[tex3]a=b=\frac{1}{2}[/tex3]

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 21:59
por thetruth
erihh3 escreveu:
Ter 09 Jul, 2019 21:56
Basta satisfazer os limites laterias nesse caso.

[tex3]\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^-} f(x)\quad (i)[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^-} f(x)\quad (ii)[/tex3]

-Analisando (i):

Lembrando que [tex3]x^2-4=(x+2)(x-2)\Rightarrow \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2[/tex3]

[tex3]\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^-} f(x)[/tex3]
[tex3]4a-2b+3=2+2[/tex3]
[tex3]4a-2b=1\quad (iii)[/tex3]

-Analisando (ii):

[tex3]\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^-} f(x)[/tex3]
[tex3]6-a+b=9a-3b+3[/tex3]
[tex3]10a-4b=3\quad (iv)[/tex3]

Basta, agora, resolver o sistema:

[tex3]\begin{cases}
4a-2b=1\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]

Com isso,

[tex3]a=b=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^-} f(x)\quad (ii)[/tex3]

eu cheguei até aqui, você poderia me mostrar como resolveu o sistema?

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 21:59
por erihh3
[tex3]\begin{cases}
4a-2b=1\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]
Só essa parte?

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 22:04
por thetruth
erihh3 escreveu:
Ter 09 Jul, 2019 21:59
[tex3]\begin{cases}
4a-2b=1\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]
Só essa parte?
sim, o resto eu cheguei na mesma conclusão

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 22:09
por erihh3
[tex3]\begin{cases}
4a-2b=1\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]

Multiplicando a primeira equação por 2

[tex3]\begin{cases}
8a-4b=2\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]

Subtraindo a segunda equação da primeira (II-I). Veja que 4b irá cortar (essa foi a minha motivação de multiplicar por 2).

[tex3]2a=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo o valor de 'a' encontrado na primeira equação do problema original.

[tex3]4.\frac{1}{2}-2b=1[/tex3]
[tex3]2-2b=1[/tex3]
[tex3]2b=1[/tex3]
[tex3]b=\frac{1}{2}[/tex3]

Com isso,

[tex3]
a=b=\frac{1}{2}[/tex3]

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 22:22
por thetruth
erihh3 escreveu:
Ter 09 Jul, 2019 22:09
[tex3]\begin{cases}
4a-2b=1\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]

Multiplicando a primeira equação por 2

[tex3]\begin{cases}
8a-4b=2\\
10a-4b=3
\end{cases}[/tex3]

Subtraindo a segunda equação da primeira (II-I). Veja que 4b irá cortar (essa foi a minha motivação de multiplicar por 2).

[tex3]2a=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo o valor de 'a' encontrado na primeira equação do problema original.

[tex3]4.\frac{1}{2}-2b=1[/tex3]
[tex3]2-2b=1[/tex3]
[tex3]2b=1[/tex3]
[tex3]b=\frac{1}{2}[/tex3]

Com isso,

[tex3]
a=b=\frac{1}{2}[/tex3]
você multiplicou a equação por 2 só para eliminar o b, certo?

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 22:24
por erihh3
Isso. Só para poder eliminar o 'b' e ter uma equação só em 'a'. A resolução do sistema pode ser feita de outros jeitos, mas essa foi a que eu usei porque foi a primeira solução que eu vi

Re: Continuidade da Função

Enviado: Ter 09 Jul, 2019 22:27
por thetruth
erihh3 escreveu:
Ter 09 Jul, 2019 22:24
Isso. Só para poder eliminar o 'b' e ter uma equação só em 'a'. A resolução do sistema pode ser feita de outros jeitos, mas essa foi a que eu usei porque foi a primeira solução que eu vi
entendi, obrigado pela ajuda :D:D