Ensino Superior ⇒ área de curva com Integral definida

[xanda]

Boa noite!
Por favor, ajuda para integrar:
Solicita a área da curva y= x^2 -4x + 3 quando x=1; x=4
[tex3]\int\limits_{1}^{4}x^2 - 4x + 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{1}^{4}x^2 - 4x + 3[/tex3]

Estou no caminho certo com essa integral? Alguém consegue encontrar área U.A.?
Obrigada!

[Cardoso1979]

Olá xanda, suponho que esteja faltando um pequeno dado nesta questão, a não ser que o autor queira calcular a área no infinito.

[Cardoso1979]

A área não está limitada pelo eixo dos x não?( y = 0 ) ?

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Ora, como ele forneceu x = 1 e x = 4 ( os limites de integração ) , isso já é suficiente para concluirmos que ele está querendo a área dentro desse domínio fechado [ 1 , 4 ] , ou seja , não precisa especificar que a região esteja limitada pelo eixo dos x ( y = 0 ) , pois já está subentendido essa limitação através do domínio fechado [ 1 , 4 ]. Aff! Acho que estou enferrujado .

Fazendo a intersecção de y = x² - 4x + 3 com x = 4, temos;

y = 16 - 16 + 3

y = 3


As raízes da equação x² - 4x + 3 = 0 , são x = 1 , x = 3.

Graficamente:

15646195716062709516783993732315.jpg (18.8 KiB) Exibido 1112 vezes

Assim, a área total é dada por:

[tex3]A_{T}=A_{1}+A_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{T}=A_{1}+A_{2}[/tex3]

[tex3]A_{T}=\int\limits_{1}^{3}(0-x^2+4x-3)dx \ + \ \int\limits_{3}^{4}(x^2-4x+3-0)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{T}=\int\limits_{1}^{3}(0-x^2+4x-3)dx \ + \ \int\limits_{3}^{4}(x^2-4x+3-0)dx[/tex3]

[tex3]A_{T}=\int\limits_{1}^{3}(-x^2+4x-3)dx \ + \ \int\limits_{3}^{4}(x^2-4x+3)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{T}=\int\limits_{1}^{3}(-x^2+4x-3)dx \ + \ \int\limits_{3}^{4}(x^2-4x+3)dx[/tex3]

[tex3]A_{T}=[-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x]_{1}^{3} \ + \ [\frac{x^3}{3}-2x^2+3x]_{3}^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{T}=[-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x]_{1}^{3} \ + \ [\frac{x^3}{3}-2x^2+3x]_{3}^{4}[/tex3]

[tex3]A_{T}=\cancel{-9}\cancel{+18}\cancel{-9}+\frac{1}{3}-2+3+\frac{64}{3}-32+12\cancel{-9}\cancel{+18}\cancel{-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{T}=\cancel{-9}\cancel{+18}\cancel{-9}+\frac{1}{3}-2+3+\frac{64}{3}-32+12\cancel{-9}\cancel{+18}\cancel{-9}[/tex3]

[tex3]A_{T}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{T}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}[/tex3]

Portanto, a área encontrada é [tex3]\frac{8}{3}u.a.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{8}{3}u.a.[/tex3]

.



Bons estudos!