Observe
Solução:
Para representar essa função em série de potências o ideal é compararmos a função dada com a série geométrica. Vamos então escrever a função f( x ) de forma que apareça um termo semelhante à : [tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3]
.
Logo, vamos ver se conseguimos escrever f( x ) de outra forma.
[tex3]f(x)=\frac{1+x}{1-x}[/tex3]
Que pode ser rescrito como [tex3]f(x)=(1+x).\left(\frac{1}{1-x}\right)[/tex3]
.
Perceba que a "segunda função" é a série geométrica, ou seja ;
[tex3]\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{∞}x^n \ , \ para \ todo \ |x|<1[/tex3]
Dessa forma temos:
[tex3]f(x)=(1+x).\sum_{n=0}^{∞}x^n[/tex3]
Expandindo, vem;
[tex3]f(x)=\sum_{n=0}^{∞}x^n+x.\sum_{n=0}^{∞}x^n[/tex3]
Vamos analisar cada termo da nossa função:
Primeiro termo:
[tex3]\sum_{n=0}^{∞}x^n=1+x+x^2+x^3+...[/tex3]
Segundo termo:
[tex3]x.\sum_{n=0}^{∞}x^n=x+x^2+x^3+x^4+...[/tex3]
Observando que x¹ , x² , x³ , x⁴ , . . . , vão aparecer duas vezes no nosso f( x ) e o 1 vai aparecer somente uma vez. Portanto,
[tex3]f(x)=1+2\sum_{n=1}^{∞}x^n[/tex3]
, lindo demais!!!
Bons estudos!