Ensino Superiorsérie de potência Tópico resolvido

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fribeiro
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série de potência

Mensagem não lida por fribeiro »

Encontre a série de potência para f(x)=[tex3]\frac{1+x}{1-x}[/tex3]
Resposta

1+2 [tex3]\sum_{i=0}^{\infty }x^{n}[/tex3]




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Cardoso1979
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Jun 2019 30 16:58

Re: série de potência

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Vamos lá, que o Brasil não pode parar...




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Cardoso1979
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Re: série de potência

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

Para representar essa função em série de potências o ideal é compararmos a função dada com a série geométrica. Vamos então escrever a função f( x ) de forma que apareça um termo semelhante à : [tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3] .

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f( x ) de outra forma.

[tex3]f(x)=\frac{1+x}{1-x}[/tex3]

Que pode ser rescrito como [tex3]f(x)=(1+x).\left(\frac{1}{1-x}\right)[/tex3] .

Perceba que a "segunda função" é a série geométrica, ou seja ;

[tex3]\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{∞}x^n \ , \ para \ todo \ |x|<1[/tex3]

Dessa forma temos:

[tex3]f(x)=(1+x).\sum_{n=0}^{∞}x^n[/tex3]

Expandindo, vem;

[tex3]f(x)=\sum_{n=0}^{∞}x^n+x.\sum_{n=0}^{∞}x^n[/tex3]

Vamos analisar cada termo da nossa função:

Primeiro termo:

[tex3]\sum_{n=0}^{∞}x^n=1+x+x^2+x^3+...[/tex3]


Segundo termo:

[tex3]x.\sum_{n=0}^{∞}x^n=x+x^2+x^3+x^4+...[/tex3]

Observando que x¹ , x² , x³ , x⁴ , . . . , vão aparecer duas vezes no nosso f( x ) e o 1 vai aparecer somente uma vez. Portanto,

[tex3]f(x)=1+2\sum_{n=1}^{∞}x^n[/tex3] , lindo demais!!!😃



Bons estudos!



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Cardoso1979
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Re: série de potência

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Olá fribeiro, você está extraindo essas questões de qual livro ( autor ) ? Só por curiosidade mesmo.



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fribeiro
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Re: série de potência

Mensagem não lida por fribeiro »

Cardoso, são questões de uma lista que o professor elabora. Não as encontrei em nenhum livro.Obrigado pela ajuda



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Cardoso1979
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Re: série de potência

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

fribeiro escreveu:
Seg 01 Jul, 2019 01:26
Cardoso, são questões de uma lista que o professor elabora. Não as encontrei em nenhum livro.Obrigado pela ajuda
Entendi! Disponha 👍




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