Ensino SuperiorIntegral de superfície Tópico resolvido

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Autor do Tópico
engigor
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Jun 2019 26 17:33

Integral de superfície

Mensagem não lida por engigor »

Olá!
Cheguei a esse exercício e depois de tentar muitas coisas não consegui chegar a resposta.
Tentei usar coordenadas esféricas e também não usá-la... Mas deu uma integral imensa.

Calcule [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{\sigma }^{}f(x,y,z)dS[/tex3] sendo

[tex3]f(x,y,z) = x^2+y^2[/tex3] e [tex3]\sigma [/tex3] a superfície [tex3]x^2+y^2+z^2 = 4, z\geq 1[/tex3] . (Fica entendido aqui que [tex3]\sigma [/tex3] é a parametrização mais "natural" do conjunto dado.)
Resposta

[tex3]\frac{20\pi }{3} [/tex3]
Obrigado desde já




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Cardoso1979
6 - Doutor
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Jul 2019 16 21:04

Re: Integral de superfície

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

[tex3]I=\int\limits_{}^{}\int\limits_{\sigma }^{}f(x,y,z)dS[/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{}^{}\int\limits_{\sigma }^{}f(x,y,z)\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy[/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{}^{}\int\limits_{\sigma }^{}(x^2+y^2)\sqrt{1+\left(-\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\right)^2+\left(-\frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\right)^2}dxdy[/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{}^{}\int\limits_{\sigma }^{}(x^2+y^2)\sqrt{1+\frac{x²}{4-x^2-y^2}+\frac{y^2}{4-x^2-y^2}}dxdy[/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]I=2.\int\limits_{}^{}\int\limits_{\sigma }^{}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{4-x^2-y^2}}dxdy[/tex3]


Passando para coordenadas polares, temos:

[tex3]I=2.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\frac{r^2}{\sqrt{4-r^2}}rdrd\theta [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}[\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\frac{r^2}{\sqrt{4-r^2}}2rdr]d\theta [/tex3]

Resolvendo a integral que está dentro dos colchetes, vem;

u = 4 - r² → du = - 2rdr → 2rdr = - du e r² = 4 - u

Como mudamos de variável devemos então mudar os limites de integração, temos que:

Para r = √3:

u = 4 - (√3)² = 4 - 3 → u = 1

Para r = 0:

u = 4 - 0² = 4 - 0 → u = 4


Assim,

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}[\int\limits_{4}^{1}\frac{4-u}{\sqrt{u}}(-du)]d\theta [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}[\int\limits_{4}^{1}\frac{u-4}{\sqrt{u}}du]d\theta [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}[\int\limits_{4}^{1}\frac{u}{\sqrt{u}}du-4\int\limits_{4}^{1}\frac{1}{\sqrt{u}}du]d\theta [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}[\int\limits_{4}^{1}u^{\frac{1}{2}}du-4\int\limits_{4}^{1}u^{-\frac{1}{2}}du]d\theta [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}\{[\frac{2}{3}\sqrt{u^3}]_{4}^{1}-4.[2\sqrt{u}]_{4}^{1}\}d\theta [/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}(\frac{2}{3}-\frac{16}{3}-8+16) \ d\theta [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}\frac{-14+24}{3} \ d\theta [/tex3]

[tex3]I=\int\limits_{0}^{2π}\frac{10}{3} \ d\theta [/tex3]

[tex3]I=\frac{10}{3}[\theta ]_{0}^{2π}[/tex3]

[tex3]I=\frac{10}{3}(2π-0)[/tex3]

Portanto,

[tex3]I=\frac{20π}{3}[/tex3]



Nota

Intersecção de x² + y² + z² = 4 com z = 1:

x² + y² + 1² = 4

x² + y² = 3 ( disco com raio √3 , ou seja , projeção da superfície [tex3]\sigma [/tex3] sobre o plano xy )


Obs.1

x² + y² = r²

dxdy = rdrdθ


Obs.2

x² + y² + z² = 4

z² = 4 - x² - y²

z = ± √( 4 - x² - y² )

Então;

z = √( 4 - x² - y² ) ( pois z ≥ 1 )

Daí;

[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{(4-x^2-y^2)'}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{0-2x-0}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]


e


[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{(4-x^2-y^2)'}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{0-0-2y}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-\cancel{2}y}{\cancel{2}\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex3]


Obs.3 A figura ( gráfico ) ficará como exercício para você 👍




Bons estudos!




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