Ensino Superior ⇒ Método de Newton-Raphson - Cálculo numérico Tópico resolvido

[FilipeDLQ]

Considere a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q:

[tex3]x_{k+1}=\frac{1}{3}\left[2x_{k}+\frac{Q}{x_{k}^2}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{k+1}=\frac{1}{3}\left[2x_{k}+\frac{Q}{x_{k}^2}\right][/tex3]

a) Mostre que a fórmula anterior é um caso especial de iteração de Newton.

b) Calcule as duas primeiras iterações usando a fórmula dada no item a) para encontrar [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

, com precisão [tex3]10^{-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{-2}[/tex3]

[baltuilhe]

Bom dia!

No método de Newton-Raphson utilizamos uma função iterativa tal como a abaixo para obter as possíveis raízes de uma função:
[tex3]\varphi\left(x_{k}\right)=x_{k}-\dfrac{f\left(x_{k}\right)}{f'\left(x_{k}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varphi\left(x_{k}\right)=x_{k}-\dfrac{f\left(x_{k}\right)}{f'\left(x_{k}\right)}[/tex3]

Para obter uma raiz cúbica de Q podemos utilizar a seguinte função:
[tex3]f(x)=x^3-Q[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x^3-Q[/tex3]

E buscarmos sua raiz.

Substituindo na fórmula:
[tex3]\varphi\left(x\right)=x-\dfrac{x^3-Q}{3x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varphi\left(x\right)=x-\dfrac{x^3-Q}{3x^2}[/tex3]

Agora podemos desenvolver:
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{3x^3-\left(x^3-Q\right)}{3x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{3x^3-\left(x^3-Q\right)}{3x^2}[/tex3]

[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x^3+Q}{3x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x^3+Q}{3x^2}[/tex3]

[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x}{3}+\dfrac{Q}{3x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x}{3}+\dfrac{Q}{3x^2}[/tex3]

[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{Q}{x^2}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{Q}{x^2}\right][/tex3]

Portanto, a) resolvida!

Calculando as duas primeiras iterações para [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]

:
[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
1&4,00&2,75\\
2&2,75&2,01\\
\hline
\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
1&4,00&2,75\\
2&2,75&2,01\\
\hline
\end{array}
[/tex3]

Com duas iterações dificilmente chegaríamos próximos da raiz, a não ser que o valor inicial escolhido já fosse muito próximo da raiz desejada.
Neste exemplo, precisaríamos de um pouco mais de iterações. Continuando, portanto, a tabela anterior:
[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
3&2,01&1,67\\
4&1,67&1,59\\
5&1,59&\boxed{1,59}\\
\hline
\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
3&2,01&1,67\\
4&1,67&1,59\\
5&1,59&\boxed{1,59}\\
\hline
\end{array}
[/tex3]

Veja que com mais poucas iterações chegaria numa resposta satisfatória.

Espero ter ajudado!

[FilipeDLQ]

baltuilhe, Muito obrigado!