Considere a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q:
[tex3]x_{k+1}=\frac{1}{3}\left[2x_{k}+\frac{Q}{x_{k}^2}\right][/tex3]
a) Mostre que a fórmula anterior é um caso especial de iteração de Newton.
b) Calcule as duas primeiras iterações usando a fórmula dada no item a) para encontrar [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3]
, com precisão [tex3]10^{-2}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Método de Newton-Raphson - Cálculo numérico Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2019
26
09:40
Re: Método de Newton-Raphson - Cálculo numérico
Bom dia!
No método de Newton-Raphson utilizamos uma função iterativa tal como a abaixo para obter as possíveis raízes de uma função:
[tex3]\varphi\left(x_{k}\right)=x_{k}-\dfrac{f\left(x_{k}\right)}{f'\left(x_{k}\right)}[/tex3]
Para obter uma raiz cúbica de Q podemos utilizar a seguinte função:
[tex3]f(x)=x^3-Q[/tex3]
E buscarmos sua raiz.
Substituindo na fórmula:
[tex3]\varphi\left(x\right)=x-\dfrac{x^3-Q}{3x^2}[/tex3]
Agora podemos desenvolver:
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{3x^3-\left(x^3-Q\right)}{3x^2}[/tex3]
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x^3+Q}{3x^2}[/tex3]
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x}{3}+\dfrac{Q}{3x^2}[/tex3]
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{Q}{x^2}\right][/tex3]
Portanto, a) resolvida!
Calculando as duas primeiras iterações para [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3] :
[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
1&4,00&2,75\\
2&2,75&2,01\\
\hline
\end{array}
[/tex3]
Com duas iterações dificilmente chegaríamos próximos da raiz, a não ser que o valor inicial escolhido já fosse muito próximo da raiz desejada.
Neste exemplo, precisaríamos de um pouco mais de iterações. Continuando, portanto, a tabela anterior:
[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
3&2,01&1,67\\
4&1,67&1,59\\
5&1,59&\boxed{1,59}\\
\hline
\end{array}
[/tex3]
Veja que com mais poucas iterações chegaria numa resposta satisfatória.
Espero ter ajudado!
No método de Newton-Raphson utilizamos uma função iterativa tal como a abaixo para obter as possíveis raízes de uma função:
[tex3]\varphi\left(x_{k}\right)=x_{k}-\dfrac{f\left(x_{k}\right)}{f'\left(x_{k}\right)}[/tex3]
Para obter uma raiz cúbica de Q podemos utilizar a seguinte função:
[tex3]f(x)=x^3-Q[/tex3]
E buscarmos sua raiz.
Substituindo na fórmula:
[tex3]\varphi\left(x\right)=x-\dfrac{x^3-Q}{3x^2}[/tex3]
Agora podemos desenvolver:
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{3x^3-\left(x^3-Q\right)}{3x^2}[/tex3]
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x^3+Q}{3x^2}[/tex3]
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{2x}{3}+\dfrac{Q}{3x^2}[/tex3]
[tex3]\varphi\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{Q}{x^2}\right][/tex3]
Portanto, a) resolvida!
Calculando as duas primeiras iterações para [tex3]\sqrt[3]{4}[/tex3] :
[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
1&4,00&2,75\\
2&2,75&2,01\\
\hline
\end{array}
[/tex3]
Com duas iterações dificilmente chegaríamos próximos da raiz, a não ser que o valor inicial escolhido já fosse muito próximo da raiz desejada.
Neste exemplo, precisaríamos de um pouco mais de iterações. Continuando, portanto, a tabela anterior:
[tex3]\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline\\
n&x&\varphi(x)=\dfrac{1}{3}\left[2x+\dfrac{4}{x^2}\right]\\
\hline\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
3&2,01&1,67\\
4&1,67&1,59\\
5&1,59&\boxed{1,59}\\
\hline
\end{array}
[/tex3]
Veja que com mais poucas iterações chegaria numa resposta satisfatória.
Espero ter ajudado!
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