Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

[menelaus]

Verifique se a função [tex3]f(x,y) = \begin{cases}\frac{2xy}{x²+y²}; (x,y) \neq (0,0)\\0; (x,y) = (0,0)\end{cases}[/tex3]

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[tex3]f(x,y) = \begin{cases}\frac{2xy}{x²+y²}; (x,y) \neq (0,0)\\0; (x,y) = (0,0)\end{cases}[/tex3]

é diferenciável no ponto [tex3](0,0)[/tex3]

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[tex3](0,0)[/tex3]

.

Resposta

---

Não é diferenciável.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

A gente verificando se a função não é contínua faz com que a mesma não seja diferenciável também. Então, vamos achar o limite da função no ponto ( 0 , 0 ) , vamos começar substituindo os valores de x e y , temos;

[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{0}{0+0}=\frac{0}{0}[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{0}{0+0}=\frac{0}{0}[/tex3]

Note que há uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos fazer então a aproximação y = mx e ver quanto vai ser esse limite, vem;

[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2xy}{x^2+y^2}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2xy}{x^2+y^2}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2xmx}{x^2+(mx)^2}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2xmx}{x^2+(mx)^2}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2x^2m}{x^2+m^2x^2}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2x^2m}{x^2+m^2x^2}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2x^2m}{x^2(1+m^2)}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2x^2m}{x^2(1+m^2)}=[/tex3]

[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2m}{1+m^2}=\frac{2m}{1+m^2}[/tex3]

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[tex3]\lim_{(x ,y)\rightarrow \ (0,0)}\frac{2m}{1+m^2}=\frac{2m}{1+m^2}[/tex3]

Logo, o limite depende do caminho, dessa forma o limite não existe, e a função não é contínua. Portanto, a função não é diferenciável.



Bons estudos!