Encontre uma serie de potencias em x para f(x) = [tex3]sen^{2}[/tex3]
Dica: [tex3]sen^{2}[/tex3]
x=[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
(1-cos(2x))
x , encontrando o intervalo de convergencia.Ensino Superior ⇒ série de potência Tópico resolvido
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27
13:40
Re: série de potência
Observe
Uma solução:
Lembrando que a série do cos(x) é:
[tex3]cos(x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Podemos então concluir que cos (2x) é:
[tex3]cos(2x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!} \ (I)[/tex3]
Basta substituir ( I ) na identidade trigonométrica( na dica dada ), fica;
[tex3]sen^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Podemos retirar o termo quando n = 0, temos:
[tex3]sen^2(x)=\frac{1}{2}\left(1-1-\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}\right)[/tex3]
[tex3]sen^2(x)=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Vamos introduzir o fator - 1/2 no somatório, vem;
[tex3]sen^2(x)=\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Ou , fazendo a substituição n = k + 1 , temos que;
[tex3]sen^2(x)=\sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}2^{2k+1}x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]
Por fim, retiramos o termo dois ( 2 ) do somatório, vem;
[tex3]sen^2(x)=2\sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}2^{2k}x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]
Para chegar no intervalo de convergência, precisamos do raio de convergência que é dado por;
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|[/tex3]
Onde,
[tex3]a_{k}=\frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+2)!}[/tex3]
e
[tex3]a_{k+1}=\frac{(-1)^{k+1}2^{2k+3}}{(2k+4)!}[/tex3]
Assim, temos o seguinte limite:
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+2)!}.
\frac{(2k+4)!}{(-1)^{k+1}2^{2k+3}}\right|[/tex3]
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{\cancel{(-1)^k}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}}{\cancel{(2k+2)!}}.
\frac{(2k+4).(2k+3).\cancel{(2k+2)!}}{\cancel{(-1)^{k}}.{(-1)^{1}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}.4}}\right|[/tex3]
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|
\frac{(2k+4)(2k+3)}{-4}\right|[/tex3]
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}
\frac{(2k+4)(2k+3)}{4}[/tex3]
R = ∞
E portanto o intervalo de convergência é IR.
Nota
A série converge para qualquer valor de x.
Bons estudos!
Uma solução:
Lembrando que a série do cos(x) é:
[tex3]cos(x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Podemos então concluir que cos (2x) é:
[tex3]cos(2x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!} \ (I)[/tex3]
Basta substituir ( I ) na identidade trigonométrica( na dica dada ), fica;
[tex3]sen^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Podemos retirar o termo quando n = 0, temos:
[tex3]sen^2(x)=\frac{1}{2}\left(1-1-\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}\right)[/tex3]
[tex3]sen^2(x)=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Vamos introduzir o fator - 1/2 no somatório, vem;
[tex3]sen^2(x)=\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}[/tex3]
Ou , fazendo a substituição n = k + 1 , temos que;
[tex3]sen^2(x)=\sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}2^{2k+1}x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]
Por fim, retiramos o termo dois ( 2 ) do somatório, vem;
[tex3]sen^2(x)=2\sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}2^{2k}x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]
Para chegar no intervalo de convergência, precisamos do raio de convergência que é dado por;
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|[/tex3]
Onde,
[tex3]a_{k}=\frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+2)!}[/tex3]
e
[tex3]a_{k+1}=\frac{(-1)^{k+1}2^{2k+3}}{(2k+4)!}[/tex3]
Assim, temos o seguinte limite:
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+2)!}.
\frac{(2k+4)!}{(-1)^{k+1}2^{2k+3}}\right|[/tex3]
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{\cancel{(-1)^k}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}}{\cancel{(2k+2)!}}.
\frac{(2k+4).(2k+3).\cancel{(2k+2)!}}{\cancel{(-1)^{k}}.{(-1)^{1}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}.4}}\right|[/tex3]
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|
\frac{(2k+4)(2k+3)}{-4}\right|[/tex3]
[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}
\frac{(2k+4)(2k+3)}{4}[/tex3]
R = ∞
E portanto o intervalo de convergência é IR.
Nota
A série converge para qualquer valor de x.
Bons estudos!
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27
22:49
Re: série de potência
Para encontrar o intervalo de convergência, a forma correta na realidade é esta:
Apliquemos o critério da razão para a série de termos quaisquer, vem;
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{k+1}.2^{2k+3}.x^{2k+4}}{(2k+4)!}.\frac{(2k+2)!}{(-1)^k.2^{2k+1}.x^{2k+2}}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{k}.(-1).2^{2k}.2^3.x^{2k}.x^4.(2k+2)!}{(2k+4).(2k+3).(2k+2)!.(-1)^k.2^{2k}.2.x^{2k}.x^2}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{\cancel{(-1)^{k}}.(-1).\cancel{2^{2k}}.4.\cancel{2}.\cancel{x^{2k}}.\cancel{x^2}.x^2.\cancel{(2k+2)!}}{(2k+4).(2k+3).\cancel{(2k+2)!}.\cancel{(-1)^k}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}.\cancel{x^{2k}}.\cancel{x^2}}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{-4x^2}{(2k+4)(2k+3)}\right|=[/tex3]
[tex3]4x^2.\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{(2k+4)(2k+3)}=4x^2.0=0[/tex3]
Como [tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{(2k+4)(2k+3)}=0[/tex3] , a série convergirá absolutamente para todo x. Neste caso, o raio de convergência é + ∞.
Portanto, o intervalo de convergência é IR.
Nota
Já que temos [tex3]x^{2k+2}[/tex3] e não [tex3]x^{k}[/tex3] devemos usar o "teste na forma normal", ou seja , [tex3]a_{k}=
\frac{(-1)^k.2^{2k+1}.x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]
Chegamos a mesma resposta
Bons estudos!
Apliquemos o critério da razão para a série de termos quaisquer, vem;
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{k+1}.2^{2k+3}.x^{2k+4}}{(2k+4)!}.\frac{(2k+2)!}{(-1)^k.2^{2k+1}.x^{2k+2}}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{k}.(-1).2^{2k}.2^3.x^{2k}.x^4.(2k+2)!}{(2k+4).(2k+3).(2k+2)!.(-1)^k.2^{2k}.2.x^{2k}.x^2}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{\cancel{(-1)^{k}}.(-1).\cancel{2^{2k}}.4.\cancel{2}.\cancel{x^{2k}}.\cancel{x^2}.x^2.\cancel{(2k+2)!}}{(2k+4).(2k+3).\cancel{(2k+2)!}.\cancel{(-1)^k}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}.\cancel{x^{2k}}.\cancel{x^2}}\right|=[/tex3]
[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{-4x^2}{(2k+4)(2k+3)}\right|=[/tex3]
[tex3]4x^2.\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{(2k+4)(2k+3)}=4x^2.0=0[/tex3]
Como [tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{(2k+4)(2k+3)}=0[/tex3] , a série convergirá absolutamente para todo x. Neste caso, o raio de convergência é + ∞.
Portanto, o intervalo de convergência é IR.
Nota
Já que temos [tex3]x^{2k+2}[/tex3] e não [tex3]x^{k}[/tex3] devemos usar o "teste na forma normal", ou seja , [tex3]a_{k}=
\frac{(-1)^k.2^{2k+1}.x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]
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