Ensino Superiorsérie de potência Tópico resolvido

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fribeiro
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série de potência

Mensagem não lida por fribeiro »

Encontre uma serie de potencias em x para f(x) = [tex3]sen^{2}[/tex3] x , encontrando o intervalo de convergencia.
Dica: [tex3]sen^{2}[/tex3] x=[tex3]\frac{1}{2}[/tex3] (1-cos(2x))




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Cardoso1979
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Re: série de potência

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Lembrando que a série do cos(x) é:

[tex3]cos(x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}[/tex3]

Podemos então concluir que cos (2x) é:

[tex3]cos(2x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!} \ (I)[/tex3]

Basta substituir ( I ) na identidade trigonométrica( na dica dada ), fica;

[tex3]sen^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}[/tex3]


Podemos retirar o termo quando n = 0, temos:

[tex3]sen^2(x)=\frac{1}{2}\left(1-1-\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}\right)[/tex3]

[tex3]sen^2(x)=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}[/tex3]

Vamos introduzir o fator - 1/2 no somatório, vem;

[tex3]sen^2(x)=\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}[/tex3]


Ou , fazendo a substituição n = k + 1 , temos que;


[tex3]sen^2(x)=\sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}2^{2k+1}x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]

Por fim, retiramos o termo dois ( 2 ) do somatório, vem;

[tex3]sen^2(x)=2\sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}2^{2k}x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]



Para chegar no intervalo de convergência, precisamos do raio de convergência que é dado por;

[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|[/tex3]

Onde,

[tex3]a_{k}=\frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+2)!}[/tex3]

e

[tex3]a_{k+1}=\frac{(-1)^{k+1}2^{2k+3}}{(2k+4)!}[/tex3]

Assim, temos o seguinte limite:


[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^k2^{2k+1}}{(2k+2)!}.
\frac{(2k+4)!}{(-1)^{k+1}2^{2k+3}}\right|[/tex3]

[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{\cancel{(-1)^k}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}}{\cancel{(2k+2)!}}.
\frac{(2k+4).(2k+3).\cancel{(2k+2)!}}{\cancel{(-1)^{k}}.{(-1)^{1}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}.4}}\right|[/tex3]

[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}\left|
\frac{(2k+4)(2k+3)}{-4}\right|[/tex3]

[tex3]R=\lim_{k \rightarrow \infty}
\frac{(2k+4)(2k+3)}{4}[/tex3]

R = ∞

E portanto o intervalo de convergência é IR.





Nota

A série converge para qualquer valor de x.



Bons estudos!




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Cardoso1979
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Re: série de potência

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Para encontrar o intervalo de convergência, a forma correta na realidade é esta:

Apliquemos o critério da razão para a série de termos quaisquer, vem;

[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=[/tex3]

[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{k+1}.2^{2k+3}.x^{2k+4}}{(2k+4)!}.\frac{(2k+2)!}{(-1)^k.2^{2k+1}.x^{2k+2}}\right|=[/tex3]

[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{k}.(-1).2^{2k}.2^3.x^{2k}.x^4.(2k+2)!}{(2k+4).(2k+3).(2k+2)!.(-1)^k.2^{2k}.2.x^{2k}.x^2}\right|=[/tex3]

[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{\cancel{(-1)^{k}}.(-1).\cancel{2^{2k}}.4.\cancel{2}.\cancel{x^{2k}}.\cancel{x^2}.x^2.\cancel{(2k+2)!}}{(2k+4).(2k+3).\cancel{(2k+2)!}.\cancel{(-1)^k}.\cancel{2^{2k}}.\cancel{2}.\cancel{x^{2k}}.\cancel{x^2}}\right|=[/tex3]

[tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{-4x^2}{(2k+4)(2k+3)}\right|=[/tex3]

[tex3]4x^2.\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{(2k+4)(2k+3)}=4x^2.0=0[/tex3]

Como [tex3]\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{(2k+4)(2k+3)}=0[/tex3] , a série convergirá absolutamente para todo x. Neste caso, o raio de convergência é + ∞.

Portanto, o intervalo de convergência é IR.


Nota

Já que temos [tex3]x^{2k+2}[/tex3] e não [tex3]x^{k}[/tex3] devemos usar o "teste na forma normal", ou seja , [tex3]a_{k}=
\frac{(-1)^k.2^{2k+1}.x^{2k+2}}{(2k+2)!}[/tex3]

Chegamos a mesma resposta 😅

Bons estudos!




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