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Calcule [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{} z\sqrt{x^2+y^2} \ dx \ dy \ dz[/tex3] , [tex3]S=[/tex3] {[tex3](x,y,z); \ (x-1)^2+y^2\leq 1, \ 0\leq z\leq 4[/tex3] }.

Resposta

[tex3]\frac{256}{9}[/tex3]

Observe

Solução:

O sólido ( cilindro ) está localizado no primeiro e quarto octantes, pois ( x - 1 )² + y² ≤ 1 trata-se de um cilindro com centro em ( 1 , 0 ) , por outro lado , como 0 ≤ z ≤ 4 , significa que o cilindro é limitado inferiormente pelo plano z = 0 e limitado superiormente pelo plano z = 4 ( funcionam como se fossem "as tampas" do cilindro ).

Então;

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}\int\limits_{0}^{4}z\sqrt{x^2+y^2}dzdydx=[/tex3]

Obs.1

Uma região D , quando limitada por um disco do tipo ( x - a )² + y² ≤ a² , devemos considerar os seguintes limites de integração:

D = { ( r , θ ) ∈ IR² / 0 ≤ r ≤ 2acos(θ) , - π/2 ≤ θ ≤ π/2 }

Obs.2 A projeção do sólido ( cilindro ) ( x - 1 )² + y² = 1 no plano xy é justamente o disco
( x - 1 )² + y² = 1 de centro ( 1 , 0 ) no primeiro e quarto quadrantes.

Obs.3 O cilindro por estar representado nesse formato ( x - 1 )² + y² ≤ 1 ( com o sinal ≤ ) , significa que a região está dentro do mesmo.

Assim, em coordenadas cilíndricas, temos:

[tex3]\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos(\theta )}\int\limits_{0}^{4}z\sqrt{r^2}dz \ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos(\theta)}\int\limits_{0}^{4}zdz \ r^2dr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos(\theta)}[\frac{z^2}{2}]_{0}^{4}\ r^2dr \ d\theta= [/tex3]

[tex3]\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos(\theta)}\frac{16}{2}\ r^2dr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]8.\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{2cos(\theta)} r^2dr \ d\theta= [/tex3]

[tex3]8.\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}[\frac{r^3}{3}]_{0}^{2cos(\theta)} \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{8}{3}.\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}8cos^3(\theta) \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{64}{3}.\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}cos^3(\theta) \ d\theta= [/tex3]

[tex3]\frac{64}{3}.\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}cos^2(\theta)cos (\theta ) \ d\theta= [/tex3]

[tex3]\frac{64}{3}.\int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}[1-sen^2(\theta)].cos (\theta ) \ d\theta= [/tex3]

Fazendo u = sen (θ) e , portanto , du = cos(θ)dθ.

Como houve mudança de variável, vamos então mudar os limites de integração, temos que:

Para θ = π/2, vem;

u = sen (π/2) → u = 1

Para θ = - π/2, vem;

u = sen (- π/2) → u = - sen ( π/2) → u = - 1

Daí;

[tex3]\frac{64}{3}\int\limits_{-1}^{1}(1-u^2)du[/tex3]

[tex3]\frac{64}{3}[u-\frac{u^3}{3}]_{-1}^{1}=[/tex3]

[tex3]\frac{64}{3.3}[3u-u^3]_{-1}^{1}=[/tex3]

[tex3]\frac{64}{9}\{3.1-1^3-3.(-1)-[-(-1)^3]\}=[/tex3]

[tex3]\frac{64}{9}\{3-1+3-[-(-1)]\}=[/tex3]

[tex3]\frac{64}{9}\{3-1+3-[1]\}=[/tex3]

[tex3]\frac{64}{9}\{3-1+3-1\}=[/tex3]

[tex3]\frac{64.4}{9}=\frac{256}{9}[/tex3]

Portanto, o valor da integral tripla é [tex3]\frac{256}{9}[/tex3] .

Nota

{ x² + y² = r
{
{ dzdydx = rdzdrdθ
{
{ x = rcos(θ)
{
{ y = rsen(θ)

Ainda;

( x - 1 )² + y² = 1

x² - 2x + 1 + y² = 1

r² - 2rcos(θ) = 0

r.[ r - 2cos(θ) ] = 0

r = 0

Ou

r - 2cos(θ) = 0 → r = 2cos(θ)

E por fim, você pode calcular a integral [tex3]\int\limits_{}^{}cos^3 (\theta) d\theta [/tex3] usando a fórmula de recorrência, que é:

[tex3]\int\limits_{}^{}cos^n(\theta )d\theta =\frac{1}{n}cos^{n-1}(\theta ).sen(\theta )+\frac{n-1}{n}\int\limits_{}^{}cos^{n-2}(\theta )d\theta [/tex3] , com n ≥ 2 ( n natural ).

Bons estudos!

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