Ensino Superior ⇒ Limites Tópico resolvido

[Jonhkaos]

Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ definidas por

𝑓(𝑥) = {0, 𝑥 ∈ ℝ\ℚ
𝑥, 𝑥 ∈ ℚ

𝑔(𝑥) = {1, 𝑥 = 0
0, 𝑥 ≠ 0

Mostre que lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 0 e lim 𝑦→0 𝑔(𝑦) = 0, porém lim𝑥→0 𝑔(𝑓(𝑥)) não existe.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Nessas condições vale [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}f(x)=\lim_{x \rightarrow \ 0}g(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}f(x)=\lim_{x \rightarrow \ 0}g(x)=0[/tex3]

e não existe [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}g(f(x))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}g(f(x))[/tex3]

Vale lim 𝑥→0 𝑓(𝑥) = 0 , pois tomamos ε = δ então para 0 < | x | < δ vale | f( x ) | < δ = ε , tanto para x irracional, pois no caso vale | f( x ) | = 0 < ε , tanto no caso de x racional pois nesse caso vale | f( x ) | = | x | < δ = ε , então em qualquer desses casos temos | f( x ) | < ε .

Também vale que lim x→0 𝑔(x) = 0, pois tomando ε = δ , 0 < | x | < δ implica x não nulo, portanto g( x ) = 0 e daí | g( x ) | = 0 < δ = ε.

Não existe lim𝑥→0 𝑔(𝑓(𝑥)).

Seja xn → 0 por valores racionais, então f( xn ) = xn e daí lim g( f( xn ) ) = lim g( xn ) = 0. Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f( yn ) = 0 e lim g( f( yn ) ) = lim g( 0 ) = 1 , logo não pode existir [tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}g(f(x))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 0}g(f(x))[/tex3]

, pois o limite depende de como se aproxima de zero. ( Obs. usamos o critério de divergência por meio de sequências ). C.q.m.




Bons estudos!