Ensino Superior ⇒ série converge ou diverge? Tópico resolvido

[fribeiro]

[tex3]\sum_{i=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{i=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}[/tex3]

converge ou diverge

Resposta

---

converge

[Cardoso1979]

Observe

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}[/tex3]

Uma solução:

Temos que [tex3]0<\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}≤\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/tex3]

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[tex3]0<\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}≤\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/tex3]

Logo,

Temos que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}≤\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}≤\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/tex3]

Note que [tex3]\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<\frac{1}{n^1}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<\frac{1}{n^1}[/tex3]

, ou seja , [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\frac
{3}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\frac
{3}{2}}}[/tex3]

trata-se de uma série harmônica convergente ( α = 3/2 > 1 ), já que a mesma converge , então podemos concluir pelo critério da comparação que a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}[/tex3]

também converge.



Bons estudos!