Ensino Superior ⇒ série Tópico resolvido

[fribeiro]

[tex3]\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\sqrt[4]{n^{3}+5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\sqrt[4]{n^{3}+5}}[/tex3]

Resposta: converge

[Cardoso1979]

Observe

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\sqrt[4]{n^{3}+5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\sqrt[4]{n^{3}+5}}[/tex3]

Solução:

[tex3]Seja \ x_{n}=\frac{1000}{n^{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.n^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{1+\frac{5}{n^3}}}[/tex3]

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[tex3]Seja \ x_{n}=\frac{1000}{n^{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.n^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{1+\frac{5}{n^3}}}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]\ x_{n}=\frac{1000}{n^{\frac{13}{12}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.\sqrt[4]{1+\frac{5}{n^3}}}[/tex3]

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[tex3]\ x_{n}=\frac{1000}{n^{\frac{13}{12}}\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.\sqrt[4]{1+\frac{5}{n^3}}}[/tex3]

[tex3]Agora \ , \ seja \ y_{n}=\frac{1}{n^{\frac{13}{12}}}.[/tex3]

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[tex3]Agora \ , \ seja \ y_{n}=\frac{1}{n^{\frac{13}{12}}}.[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1000}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.\sqrt[4]{1+\frac{5}{n^3}}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1000}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.\sqrt[4]{1+\frac{5}{n^3}}}=[/tex3]

[tex3]=\frac{1000}{\sqrt[3]{1+0}.\sqrt[4]{1+0}}=[/tex3]

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[tex3]=\frac{1000}{\sqrt[3]{1+0}.\sqrt[4]{1+0}}=[/tex3]

[tex3]=\frac{1000}{\sqrt[3]{1}.\sqrt[4]{1}}=[/tex3]

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[tex3]=\frac{1000}{\sqrt[3]{1}.\sqrt[4]{1}}=[/tex3]

[tex3]=\frac{1000}{1.1}=[/tex3]

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[tex3]=\frac{1000}{1.1}=[/tex3]

[tex3]=\frac{1000}{1}=1000[/tex3]

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[tex3]=\frac{1000}{1}=1000[/tex3]

Por outro lado, note que [tex3]y_{n}=
\frac{1}{n^{\frac{13}{12}}}<\frac{1}{n^1}[/tex3]

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[tex3]y_{n}=
\frac{1}{n^{\frac{13}{12}}}<\frac{1}{n^1}[/tex3]

. Logo a série [tex3]\sum_{n=1}^{∞}y_{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{∞}y_{n}[/tex3]

converge. Pelo teste de comparação no limite, a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\sqrt[4]{n^{3}+5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\sqrt[4]{n^{3}+5}}[/tex3]

também converge.



Bons estudos!