Ensino Superior ⇒ Subespaços Vetoriais - Álgebra Linear Tópico resolvido

[digorlive]

Boa noite, gostaria de saber como resolver a questão: Mostrar que os polinômios 1 - t, (1 - t)², (1 - t)³ e 1 geram P3(R). Creio que para resolvê-la é necessário conhecimento em dependência linear, porém não tenho certeza.
Muito obrigado.

[Cardoso1979]

Observe

Basta mostrar que os polinômios dados constituem uma base para o espaço de polinômios de grau três (3), em outras palavras , que eles sejam linearmente independentes. Então;

a( 1 - t ) + b( 1 - t )² + c( 1 - t )³ + d( 1 ) = 0

a - at + b( 1 - 2t + t² ) + c( 1 - 3t + 3t² - t³ ) + d = 0

a - at + b - 2bt + bt² + c - 3ct + 3ct² - ct³ + d = 0

[tex3]-c.t^3+(b+3c).t^2+(-a-2b-3c).t+(a+b+c+d)=0.t^3+0.t^2+0.t+0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-c.t^3+(b+3c).t^2+(-a-2b-3c).t+(a+b+c+d)=0.t^3+0.t^2+0.t+0[/tex3]

Segue que;

[tex3]\begin{cases}
-c=0→c=0 \\
b+3c=0→b=0 \\
-a-2b-3c=0→a=0 \\
a+b+c+d=0→d=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-c=0→c=0 \\
b+3c=0→b=0 \\
-a-2b-3c=0→a=0 \\
a+b+c+d=0→d=0
\end{cases}[/tex3]

Portanto, os quatro (4) polinômios dados são L.I. e , desta forma , geram o espaço dos polinômios de grau três (3). c.q.m.



Bons estudos!