Ensino Superior ⇒ Operador Linear Tópico resolvido

[Adonai]

Encontre um operador linear [tex3]T : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}[/tex3]

cujo núcleo é gerado por (1,2,-1) e (1,-1,0).

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Como { ( 1 , 2 , - 1 ) , ( 1 , - 1 , 0 ) } é um conjunto de geradores para o núcleo de T , e é L.I., logo é uma base para N( T ) , portanto , dim( N( T ) ) = 2 . Pelo teorema do núcleo e da imagem, sabemos então que dim ( Im ( T ) ) = 1. Basta, portanto , completarmos a base { ( 1 , 2 , - 1 ) , ( 1 , - 1 , 0 ) } do núcleo e obter uma base para IR³.

Podemos escolher, por exemplo, o elemento ( 1 , 0 , 0 ) e assim, o conjunto { ( 1 , 2 , - 1 ) , ( 1 , - 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) } forma uma base para o IR³.

Agora, basta tomarmos a imagem dos geradores de núcleo como sendo o elemento neutro do espaço de chegada, que no caso é IR³ e T( 1 , 0 , 0 ) linearmente independente , ou seja , nesse caso, qualquer elemento do IR³ que não seja o elemento neutro. Dessa forma, podemos definir, por exemplo, a transformação linear T da seguinte forma:

T( 1 , 2 , - 1 ) = ( 0 , 0 , 0 ) ,

T( 1 , - 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) e

T( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 , 0 , 0 ).

Vamos obter as coordenadas de um elemento ( x , y , z ) ∈ IR³ com relação a base { ( 1 , 2 , - 1 ) , ( 1 , - 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) } :

( x , y , z ) = a.( 1 , 2 , - 1 ) + b.( 1 , - 1 , 0 ) + c.( 1 , 0 , 0 )

Que resulta no seguinte sistema;

[tex3]\begin{cases}
a+b+c=x →c=x+y+3z\\
2a-b=y →b=-2z-y\\
-a=z→a=-z
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a+b+c=x →c=x+y+3z\\
2a-b=y →b=-2z-y\\
-a=z→a=-z
\end{cases}[/tex3]

Temos, portanto ;

[tex3](x,y,z)=-z.(1,2,-1)+(-2z-y).(1,-1,0)+(x+y+3z).(1,0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x,y,z)=-z.(1,2,-1)+(-2z-y).(1,-1,0)+(x+y+3z).(1,0,0)[/tex3]

Como a transformação é linear, vem;

[tex3]T(x,y,z)=T(-z.(1,2,-1)+(-2z-y).(1,-1,0)+(x+y+3z).(1,0,0))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(x,y,z)=T(-z.(1,2,-1)+(-2z-y).(1,-1,0)+(x+y+3z).(1,0,0))[/tex3]

[tex3]T(x,y,z)=-zT(1,2,-1)+(-2z-y)T(1,-1,0)+(x+y+3z)T(1,0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(x,y,z)=-zT(1,2,-1)+(-2z-y)T(1,-1,0)+(x+y+3z)T(1,0,0)[/tex3]

[tex3]T(x,y,z)=-z.(0,0,0)+(-2z-y).(0,0,0)+(x+y+3z).(1,0,0)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(x,y,z)=-z.(0,0,0)+(-2z-y).(0,0,0)+(x+y+3z).(1,0,0)[/tex3]

Portanto,

T( x , y , z ) = ( x + y + 3z , 0 , 0 ).


Nota

Assim, temos explicitamente a transformação T. Note que a resposta não é única e depende da escolha para completar a base do espaço de saída e da escolha dos elementos linearmente independentes que serão imagens dos elementos desta base.

Obs. Caso você escolhesse o elemento ( 0 , 0 , 1/3 ) , você iria obter T( x , y , z ) = ( 0 , 0 , x + y + 3z ) o que também está correto!

Propriedade:

Se T: V → W for uma transformação linear, então T( au + bv + ct ) = aT(u) + bT(v) + cT(t) , para todo u , v , t ∈ V e para todo a , b , c ∈ IR.


Bons estudos!