Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear - Mudança de Base e Transformação Tópico resolvido

[Adonai]

Consideremos as bases [tex3]A = {(3, 4),(5, 7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = {(3, 4),(5, 7)}[/tex3]

e [tex3]B = {(1, 1),(−1, 1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B = {(1, 1),(−1, 1)}[/tex3]

do [tex3]\mathbb{R}^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}^{2}[/tex3]

e seja [tex3]T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}[/tex3]

operador linear tal que [tex3][T]_{A} = \begin{pmatrix}
-2 & 4 \\
2 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]_{A} = \begin{pmatrix}
-2 & 4 \\
2 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

.
(a) Determine a matriz M de mudança da base B para a base A.
(b) Utilize M para calcular [tex3][v]_{A}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][v]_{A}[/tex3]

, sabendo que [tex3][v]_{b} = (5, 3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][v]_{b} = (5, 3)[/tex3]

.
(c) Encontre [tex3][T]_{B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]_{B}[/tex3]

.

[Cardoso1979]

(a) Determine a matriz M de mudança da base B para a base A.

Observe

Uma solução:

Vamos escrever os elementos da base A como C.L. dos elementos da base B. Temos que:

( 3 , 4 ) = a.( 1 , 1 ) + b.( - 1 , 1 ) ( I )

e

( 5 , 7 ) = c.( 1 , 1 ) + d.( - 1 , 1 ) ( I I )


De ( I ) , vem

[tex3]\begin{cases}
a - b = 3 \\
a + b = 4
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a - b = 3 \\
a + b = 4
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema acima você irá obter [tex3]a = \frac{7}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = \frac{7}{2}[/tex3]

e [tex3]b = \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b = \frac{1}{2}[/tex3]

.


De ( I I ) , vem

[tex3]\begin{cases}
c - d = 5 \\
c + d = 7
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
c - d = 5 \\
c + d = 7
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema acima você irá obter c = 6 e d = 1.

Assim, a matriz M de mudança da base B para a base A é dada por :

[tex3][M]_{B}^{A} = \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{7}{2} & 6 \\
\frac{1}{2} & 1 \\
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][M]_{B}^{A} = \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{7}{2} & 6 \\
\frac{1}{2} & 1 \\
\end{array} \right][/tex3]

.


Obs.1
( 3 , 4 ) = [tex3]\frac{7}{2}[/tex3].( 1 , 1 ) + [tex3]\frac{1}{2}[/tex3].( - 1 , 1 )

e

( 5 , 7 ) = 6.( 1 , 1 ) + 1.( - 1 , 1 )

.


Obs.2

[tex3][M]_{B}^{A} [/tex3] → Representação da matriz M de mudança da base B para a base A, porém , tem livro que traz a seguinte representação
[tex3][M]_{A}^{B} [/tex3] que representa também a matriz M de mudança da base B para a base A. Minha opinião é que os livros ( autores ) deveriam entrar em um consenso para ter um padrão único para fazer essa representação, pois , isso só causa confusão ao leitor.




À parte;

[tex3][T]_{A} = \begin{pmatrix}
-2 & 4 \\
2 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T]_{A} = \begin{pmatrix}
-2 & 4 \\
2 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

.

Temos

( 3 , 4 ) = ( 4 , 6 ) = - 2.( 3 , 4 ) + 2.( 5 , 7 ).

( 5 , 7 ) = ( 7 , 9 ) = 4.( 3 , 4 ) - 1.( 5 , 7 ).

Vamos encontrar a transformação linear T( x , y ):

( x , y ) = a.( 3 , 4 ) + b.( 5 , 7 )

Que resulta no seguinte sistema,

[tex3]\begin{cases}
3a + 5b = x \\
4a + 7b = y
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
3a + 5b = x \\
4a + 7b = y
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema acima, obtemos

a = 7x - 5y e b = - 4x + 3y

Assim,

( x , y ) = a.( 3 , 4 ) + b.( 5 , 7 )

T( x , y ) = aT( 3 , 4 ) + bT( 5 , 7 )

T( x , y ) = ( 7x - 5y ).T( 3 , 4 ) + ( - 4x + 3y ).T( 5 , 7 )

Mas,

T( 3 , 4 ) = ( 4 , 6 ) e T( 5 , 7 ) = ( 7 , 9 ).

Então,

T( x , y ) = ( 7x - 5y ).( 4 , 6 ) + ( - 4x + 3y ).( 7 , 9 )

T( x , y ) = ( 28x - 20y , 42x - 30y ) + ( - 28x + 21y , - 36x + 27y )

Logo,

T( x , y ) = ( y , 6x - 3y ).

Observemos que a matriz canônica desse operador linear é:

[tex3][T] = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
6 & -3 \\
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][T] = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
6 & -3 \\
\end{array} \right][/tex3]

Obs.3
[tex3][T]_{A}^{A}[/tex3] ou [tex3][T]_{A}[/tex3] → Matriz de T em relação à base A.


Obs.4
[tex3][T]_{B}^{A}[/tex3] → Matriz de T em relação às bases A e B.



Nota

Perguntas secundárias ficarão a cargo do leitor! TODAS!






Boa sorte e excelente estudo!