Ensino Superior ⇒ Integral tripla Tópico resolvido

[menelaus]

Calcule a integral através das coordenadas cilíndricas [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\sqrt{x^2+y^2} \ dz \ dy \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\sqrt{x^2+y^2} \ dz \ dy \ dx[/tex3]

.

Resposta

---

[tex3]\frac{\pi}{30}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{30}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Como 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ √( 1 - x² ) podemos concluir que essa projeção do sólido ( da semi-esfera z = √(1 - x² - y² ) ) no plano xy está no primeiro octante , logo , o sólido também está situado no primeiro octante.

Em coordenadas cilíndricas, fica;

0 ≤ θ ≤ π/2 ; 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ √( 1 - r² ).


Assim,

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-r^2}}zr \ dz \ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-r^2}}zr \ dz \ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}[\frac{z^2}{2}]_{0}^{\sqrt{1-r^2}} \ r^2dr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}[\frac{z^2}{2}]_{0}^{\sqrt{1-r^2}} \ r^2dr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r^2dr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r^2dr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(r^2-r^4)dr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(r^2-r^4)dr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{r^3}{3}-\frac{r^5}{5}]_{0}^{1}\ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{r^3}{3}-\frac{r^5}{5}]_{0}^{1}\ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})\ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})\ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{2}{15})\ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}(\frac{2}{15})\ d\theta =[/tex3]

[tex3][\frac{\theta }{15}]_{0}^{\frac{π}{2}} =\frac{\frac{π}{2}}{15}-0=\frac{π}{15.2}=\frac{π}{30}[/tex3]

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[tex3][\frac{\theta }{15}]_{0}^{\frac{π}{2}} =\frac{\frac{π}{2}}{15}-0=\frac{π}{15.2}=\frac{π}{30}[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\sqrt{x^2+y^2} \ dz \ dy \ dx=\frac{π}{30}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}z\sqrt{x^2+y^2} \ dz \ dy \ dx=\frac{π}{30}[/tex3]

Bons estudos!