Ensino Superior ⇒ Integral tripla Tópico resolvido

[menelaus]

Calcule [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{1}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}\frac{z}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \ dz \ dy \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{1}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}\frac{z}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \ dz \ dy \ dx[/tex3]

.

Resposta

---

[tex3]\frac{\pi}{24}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{24}[/tex3]

[Cardoso1979]

Olá menelaus, o procedimento de resolução dessa questão é muito parecido com a resolução desta aqui viewtopic.php?f=8&t=74404

Mais tarde eu retorno para resolver

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Como 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ √( 1 - x² ) podemos concluir que essa projeção do sólido ( da semi-esfera z = √( 2 - x² - y² ) com a Intersecção do plano z = 1 ) no plano xy está no primeiro octante , logo , o sólido também está localizado no primeiro octante.

Em coordenadas cilíndricas, fica;

0 ≤ θ ≤ π/2 ; 0 ≤ r ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ √( 2 - r² ).

Assim,

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{1}^{\sqrt{2-r^2}}\frac{z}{1+r} \ dz \ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{1}^{\sqrt{2-r^2}}\frac{z}{1+r} \ dz \ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}[\int\limits_{1}^{\sqrt{2-r^2}}z \ dz] \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}[\int\limits_{1}^{\sqrt{2-r^2}}z \ dz] \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}[\frac{z^2}{2}]_{1}^{\sqrt{2-r^2}} \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}[\frac{z^2}{2}]_{1}^{\sqrt{2-r^2}} \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(2-r^2-1). \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(2-r^2-1). \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2). \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2). \left(\frac{1}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{1-r^2}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{1-r^2}{1+r}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{(1-r).\cancel{(1+r)}}{\cancel{1+r}}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{(1-r).\cancel{(1+r)}}{\cancel{1+r}}\right)\ rdr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} (r-r^2) \ dr \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{1} (r-r^2) \ dr \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{r^2}{2}-\frac{r^3}{3}]_{0}^{1} \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}[\frac{r^2}{2}-\frac{r^3}{3}]_{0}^{1} \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-0+0\right) \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-0+0\right) \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\frac{1}{6} \ d\theta =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{π}{2}}\frac{1}{6} \ d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2.6}.[\theta ]_{0}^{\frac{π}{2}} =\frac{1}{12}.\left(\frac{π}{2}\right)=\frac{π}{24}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2.6}.[\theta ]_{0}^{\frac{π}{2}} =\frac{1}{12}.\left(\frac{π}{2}\right)=\frac{π}{24}[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{1}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}\frac{z}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \ dz \ dy \ dx=\frac{π}{24}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{1}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}\frac{z}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \ dz \ dy \ dx=\frac{π}{24}[/tex3]

Nota

{ x² + y² = r² → √( x² + y² ) = √r² = r
{
{ z = z
{
{ dzdydx = rdzdrdθ

E

z = 1 ∩ z = √( 2 - x² - y² ) → semi-esfera

1 = √( 2 - x² - y² )

x² + y² = 1 → projeção do sólido no plano xy.

Então,

y = √( 1 - x² ) ( pois , 0 ≤ y ≤ √( 1 - x² ) ) → metade do círculo.

Como 0 ≤ x ≤ 1 , logo a projeção do sólido no plano xy está restringido somente no primeiro octante.



Bons estudos!