Ensino Superior ⇒ Mudança de Base Tópico resolvido

[Adonai]

A matriz de mudança da base B do IR3 para a base C = {(1, 1),(0, 2)} desse mesmo espaço é [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Determine a Base B.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Como temos [tex3]M_{B→C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M_{B→C}[/tex3]

, vamos encontrar [tex3]M_{C→B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M_{C→B}[/tex3]

, que é a inversa.

[tex3]M_{C→B}=M_{(B→C)^{-1}}=det\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
-2 & 1 \\
\end{pmatrix}→\frac{1}{3}.\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
-2 & 1 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M_{C→B}=M_{(B→C)^{-1}}=det\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
-2 & 1 \\
\end{pmatrix}→\frac{1}{3}.\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
-2 & 1 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Assim,

[tex3]M_{C→B}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M_{C→B}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

, logo a base B é uma C. L. da matriz com a base C.

( x , y ) = 1.( 1 , 1 ) - (2/3).( 0 , 2 )

( x , y ) = ( 1 , - 1/3 )

Ainda;

( x , y ) = 0.( 1 , 1 ) + (1/3).( 0 , 2 )

( x , y ) = ( 0 , 2/3 )


Portanto, a base B = { ( 1 , - 1/3 ) ; ( 0 , 2/3 ) }.



Bons estudos!