Seja S o subespaço de P2(IR) = {at² + bt + c/a, b, c ∈ IR} gerado pelos vetores:
v1 = t² − 2t + 1
v2 = t + 2 e
v3 = t² − 3t − 1
Determinar:
a) Uma base de S e dim(S).
b) Uma base de P2 com a presença de v1 e v2.
Ensino Superior ⇒ Base e Dimensão de um Subespaço Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Jun 2019
23
13:46
Re: Base e Dimensão de um Subespaço
Observe
Solução:
a) Para facilitar os cálculos, irei usar uma base canônica de [tex3]P_{2}[/tex3] , todos com coeficientes um (1) , temos que;
A = { t² , t , 1 }
Vamos encontrar agora as componentes do vetor um(1) na base A. Vem;
[tex3]v_{1}[/tex3] = a.t² + b.t + c.1
t² - 2t + 1 = at² + bt + c
Daí, a = 1 , b = - 2 e c = 1. Logo , [tex3](v_{1})_{A}=(1,-2,1)[/tex3]
Vamos encontrar agora as componentes do vetor dois (2) na base A. Vem;
[tex3]v_{2}[/tex3] = a.t² + b.t + c.1
t + 2 = at² + bt + c
Daí, a = 0 , b = 1 e c = 2. Logo , [tex3](v_{2})_{A}=(0,1,2)[/tex3]
Vamos encontrar agora as componentes do vetor três (3) na base A. Vem;
[tex3]v_{3}[/tex3] = a.t² + b.t + c.1
t² - 3t - 1 = at² + bt + c
Daí, a = 1 , b = - 3 e c = - 1. Logo , [tex3](v_{3})_{A}=(1,-3,-1)[/tex3]
Vamos verificar se esses vetores encontrados formam um conjunto L.I. ( Obs. Para ser base ,tem que ser L.I. e gerar o espaço ). Segue que;
(0 , 0 , 0) = a.(1 , - 2 , 1) + b.(0 , 1 , 2) + c.(1 , - 3 , - 1)
(0 , 0 , 0) = (a , - 2a , a) + (0 , b , 2b) + (c , - 3c , - c)
(0 , 0 , 0) = ( a + c , - 2a + b - 3c , a + 2b - c )
Montando o sistema, temos:
[tex3]\begin{cases}
a+c=0 \\
-2a+b-3c=0 \\
a+2b-c=0
\end{cases}[/tex3]
Escalonando...
[tex3]\begin{cases}
a+2b-c=0 \\
5b-5c=0 \\
2b-2c=0
\end{cases}[/tex3]
A terceira (3) equação pode ser suprimida do sistema, pois , apesar de ser sempre verdadeira, ela não traz informação sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos o sistema escalonado:
[tex3]\begin{cases}
a+2b-c=0 \\
5b-5c=0→5b=5c→b=c
\end{cases}[/tex3]
Note que, encontramos b = c , o que nos leva a concluir que o conjunto de vetores é L.D. e consequentemente dim. S ≠ 3.
Vamos então, "pegar" os vetores [tex3]v_{1}=(1,-2,1)[/tex3] e [tex3]v_{2}=(0,1,2)[/tex3] . Como não são múltiplos, logo é L.I. e sua dimensão é dim. S = 2. Portanto , uma base de S é B = { ( 1 , - 2 , 1 ) ; ( 0 , 1 , 2 ) }.
Obs. Mais se você for analisar , vemos facilmente que o vetor [tex3]v_{3}[/tex3] é uma combinação linear com os outros dois vetores [tex3]v_{1}[/tex3] e [tex3]v_{2}[/tex3] , daí ,bastava "descartar" o vetor [tex3]v_{3}[/tex3] .
b) dim. P [tex3]_{2}[/tex3] = 3.
Vamos acrescentar um vetor aos outros dois vetores ( [tex3]v_{1} \ e \ v_{2}[/tex3] ) de modo que eles não sejam C.L. um do outro, ou seja , não sejam L.D. Você pode escolher um vetor dentre os vetores da base canônica ( 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 0 , 1 ) , vou escolher o primeiro vetor, temos:
[tex3]v_{1}=(1,-2,1) \ ; \ v_{2}=(0,1,2) \ e \ v_{3}=(1,0,0)[/tex3]
Então;
(0 , 0 , 0) = a.(1 , - 2 , 1) + b.(0 , 1 , 2) + c.(1 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = (a , - 2a , a) + (0 , b , 2b) + (c , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = ( a + c , - 2a + b , a + 2b )
[tex3]\begin{cases}
a+c=0 \\
-2a+b=0 \\
a+2b=0
\end{cases}[/tex3]
Escalonando...
[tex3]\begin{cases}
a+c=0→c=0 \\
-2a+b=0 →a=0\\
5b=0→b=0
\end{cases}[/tex3]
Como a = b = c = 0 o conjunto é L.I. , logo os vetores formam uma base de [tex3]P_{2}[/tex3] .
Portanto, uma base de [tex3]P_{2}[/tex3] com a presença de [tex3]v_{1} \ e \ v_{2}[/tex3] para ter dimensão três é : B = { t² - 2t + 1 , t + 2 , t² }.
Nota
É muito trabalhoso resolver questões desse tipo, quando se tem numa mesma pergunta a) , b) , etc. Fica muito extensa , além de levar muito tempo, rs.
Bons estudos!
Solução:
a) Para facilitar os cálculos, irei usar uma base canônica de [tex3]P_{2}[/tex3] , todos com coeficientes um (1) , temos que;
A = { t² , t , 1 }
Vamos encontrar agora as componentes do vetor um(1) na base A. Vem;
[tex3]v_{1}[/tex3] = a.t² + b.t + c.1
t² - 2t + 1 = at² + bt + c
Daí, a = 1 , b = - 2 e c = 1. Logo , [tex3](v_{1})_{A}=(1,-2,1)[/tex3]
Vamos encontrar agora as componentes do vetor dois (2) na base A. Vem;
[tex3]v_{2}[/tex3] = a.t² + b.t + c.1
t + 2 = at² + bt + c
Daí, a = 0 , b = 1 e c = 2. Logo , [tex3](v_{2})_{A}=(0,1,2)[/tex3]
Vamos encontrar agora as componentes do vetor três (3) na base A. Vem;
[tex3]v_{3}[/tex3] = a.t² + b.t + c.1
t² - 3t - 1 = at² + bt + c
Daí, a = 1 , b = - 3 e c = - 1. Logo , [tex3](v_{3})_{A}=(1,-3,-1)[/tex3]
Vamos verificar se esses vetores encontrados formam um conjunto L.I. ( Obs. Para ser base ,tem que ser L.I. e gerar o espaço ). Segue que;
(0 , 0 , 0) = a.(1 , - 2 , 1) + b.(0 , 1 , 2) + c.(1 , - 3 , - 1)
(0 , 0 , 0) = (a , - 2a , a) + (0 , b , 2b) + (c , - 3c , - c)
(0 , 0 , 0) = ( a + c , - 2a + b - 3c , a + 2b - c )
Montando o sistema, temos:
[tex3]\begin{cases}
a+c=0 \\
-2a+b-3c=0 \\
a+2b-c=0
\end{cases}[/tex3]
Escalonando...
[tex3]\begin{cases}
a+2b-c=0 \\
5b-5c=0 \\
2b-2c=0
\end{cases}[/tex3]
A terceira (3) equação pode ser suprimida do sistema, pois , apesar de ser sempre verdadeira, ela não traz informação sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos o sistema escalonado:
[tex3]\begin{cases}
a+2b-c=0 \\
5b-5c=0→5b=5c→b=c
\end{cases}[/tex3]
Note que, encontramos b = c , o que nos leva a concluir que o conjunto de vetores é L.D. e consequentemente dim. S ≠ 3.
Vamos então, "pegar" os vetores [tex3]v_{1}=(1,-2,1)[/tex3] e [tex3]v_{2}=(0,1,2)[/tex3] . Como não são múltiplos, logo é L.I. e sua dimensão é dim. S = 2. Portanto , uma base de S é B = { ( 1 , - 2 , 1 ) ; ( 0 , 1 , 2 ) }.
Obs. Mais se você for analisar , vemos facilmente que o vetor [tex3]v_{3}[/tex3] é uma combinação linear com os outros dois vetores [tex3]v_{1}[/tex3] e [tex3]v_{2}[/tex3] , daí ,bastava "descartar" o vetor [tex3]v_{3}[/tex3] .
b) dim. P [tex3]_{2}[/tex3] = 3.
Vamos acrescentar um vetor aos outros dois vetores ( [tex3]v_{1} \ e \ v_{2}[/tex3] ) de modo que eles não sejam C.L. um do outro, ou seja , não sejam L.D. Você pode escolher um vetor dentre os vetores da base canônica ( 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 0 , 1 ) , vou escolher o primeiro vetor, temos:
[tex3]v_{1}=(1,-2,1) \ ; \ v_{2}=(0,1,2) \ e \ v_{3}=(1,0,0)[/tex3]
Então;
(0 , 0 , 0) = a.(1 , - 2 , 1) + b.(0 , 1 , 2) + c.(1 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = (a , - 2a , a) + (0 , b , 2b) + (c , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) = ( a + c , - 2a + b , a + 2b )
[tex3]\begin{cases}
a+c=0 \\
-2a+b=0 \\
a+2b=0
\end{cases}[/tex3]
Escalonando...
[tex3]\begin{cases}
a+c=0→c=0 \\
-2a+b=0 →a=0\\
5b=0→b=0
\end{cases}[/tex3]
Como a = b = c = 0 o conjunto é L.I. , logo os vetores formam uma base de [tex3]P_{2}[/tex3] .
Portanto, uma base de [tex3]P_{2}[/tex3] com a presença de [tex3]v_{1} \ e \ v_{2}[/tex3] para ter dimensão três é : B = { t² - 2t + 1 , t + 2 , t² }.
Nota
É muito trabalhoso resolver questões desse tipo, quando se tem numa mesma pergunta a) , b) , etc. Fica muito extensa , além de levar muito tempo, rs.
Bons estudos!
Jun 2019
23
20:52
Re: Base e Dimensão de um Subespaço
Só tenho a agradecer seu tempo, muito bem explicado, obrigado por contribuir com a matemática e conosco.
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Cardoso1979
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