Ensino Superior ⇒ série Tópico resolvido

[fribeiro]

Use o teste da integral para mostrar que converge.

[tex3]\sum_{i=0}^{\infty } e^{-n^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{i=0}^{\infty } e^{-n^{2}}[/tex3]

[Planck]

Olá fribeiro,

Podemos fazer que:

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2} \approx \int_{0} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \frac{\int_{-\infty} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx }{2}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2} \approx \int_{0} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \frac{\int_{-\infty} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx }{2}[/tex3]

Sabemos que:

[tex3]\int_{-\infty} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \sqrt \pi [/tex3]

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[tex3]\int_{-\infty} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \sqrt \pi [/tex3]

Logo:

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2} \approx \int_{0} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \frac{\sqrt \pi }{2}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2} \approx \int_{0} ^{\infty} e^{-x^2} \ dx = \frac{\sqrt \pi }{2}[/tex3]

Portanto, como a integral converge, o somatório também converge.