Ensino Superior ⇒ Integral tripla Tópico resolvido

[menelaus]

Calcule o volume do sólido que não contém a origem e é limitado pelo gráfico de [tex3]z=4-r^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=4-r^2[/tex3]

, pelo cilindro [tex3]r=1[/tex3]

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[tex3]r=1[/tex3]

e pelo plano [tex3]z=0[/tex3]

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[tex3]z=0[/tex3]

.

Resposta

---

[tex3]\frac{9\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{9\pi}{2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Como estou longe da minha ( a 300km ) , o gráfico com o respectivo sólido ficará para depois, pois o material para desenhar deixo em .

Solução:

Fazendo a Interseção do parabolóide z = 4 - r² com o cilindro r = 1, temos:

z = 4 - 1² → z = 4 - 1 → z = 3

Substituindo z = 3 em z = 4 - r², vem;

3 = 4 - r²

r² = 4 - 3

r² = 1

Mas, r² = x² + y², daí;

x² + y² = 1

O que significa que a Interseção do parabolóide com o cilindro gera uma projeção no plano xy um círculo de raio um ( 1 ).


Por outro lado, fazendo a Interseção do plano z = 0 com o parabolóide z = 4 - r², fica;

0 = 4 - r²

r² = 4

x² + y² = 4

Ou seja , x² + y² = 4 ( círculo de raio 2 ) é a projeção da Interseção do parabolóide com o plano z = 0.

Logo, a projeção do sólido no plano xy é na realidade uma coroa circular de raio maior ( raio do círculo externo ) igual a 2 e raio menor( raio do círculo interno ) igual a 1. De posse desses dados podemos concluir que os limites de integração são:

0 ≤ θ ≤ 2π , 1 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 4 - r²


Assim, o seu volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{0}^{4-r^2}1 \ dz \ rdr \ d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{0}^{4-r^2}1 \ dz \ rdr \ d\theta [/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{1}^{2}[z]_{0}^{4-r^2} \ rdr \ d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{1}^{2}[z]_{0}^{4-r^2} \ rdr \ d\theta [/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{1}^{2}(4r-r^3)\ dr \ d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{1}^{2}(4r-r^3)\ dr \ d\theta [/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}[2r^2-\frac{r^4}{4}]_{1}^{2}\ d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}[2r^2-\frac{r^4}{4}]_{1}^{2}\ d\theta [/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}(8-4-2+\frac{1}{4})\ d\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}(8-4-2+\frac{1}{4})\ d\theta [/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\frac{9}{4}\ d\theta [/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\frac{9}{4}\ d\theta [/tex3]

[tex3]V=[\frac{9\theta }{4}]_{0}^{2π} [/tex3]

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[tex3]V=[\frac{9\theta }{4}]_{0}^{2π} [/tex3]

[tex3]V=\frac{9.2π}{4}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{9.2π}{4}[/tex3]

[tex3]V=\frac{9π}{2}u.v.[/tex3]

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[tex3]V=\frac{9π}{2}u.v.[/tex3]

Portanto, o volume do sólido é [tex3]V=\frac{9π}{2}u.v.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\frac{9π}{2}u.v.[/tex3]

.


Nota

Quinta-feira , assim que eu chegar em casa farei o gráfico , fica melhor de compreender o que eu digitei acima .


Bom estudos!

[Cardoso1979]

Graficamente:

15612361378553657927509416923996.jpg (20.19 KiB) Exibido 549 vezes

Obs. A parte do sólido é somente a que está fora do cilindro, imagine esse sólido em torno do cilindro. Tive que pintar essa parte frontal( dando a idéia de que o cilindro está incluso, porém não está) , pois é muito complicado visualizar esse sólido sem pintar essa parte frontal. Em outras palavras , o cilindro funciona como a parte "ocada" do sólido formado pela Intersecção do parabolóide com o próprio cilindro.

15612365500754251594902265755833.jpg (16.16 KiB) Exibido 549 vezes

Bons estudos!