Ensino Superior ⇒ Potencia dissipada maxima Tópico resolvido

[marcosaug]

Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo [tex3]I=\frac{E}{r+R}[/tex3]

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[tex3]I=\frac{E}{r+R}[/tex3]

e [tex3]P=I^2R[/tex3]

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[tex3]P=I^2R[/tex3]

.Supondo que r seja constante, qual valor de R para o qual a potência dissipada é máxima ?

Resposta

---

R=r

[MateusQqMD]

E aí, Marcos

Dá uma olhada na image que esquematiza a situação:

Reostato.png (29.49 KiB) Exibido 2502 vezes

O reostato [tex3](\text{R})[/tex3]

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[tex3](\text{R})[/tex3]

é um resistor de resistência variável que permite determinar a resistência [tex3]\text{R}[/tex3]

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[tex3]\text{R}[/tex3]

para que a potência dissipada seja máxima.

A potência transferida pelo gerador ao reostato (potência útil) é dada por:

[tex3]\text{Pot}_{\text{u}} = \text{U} \, \text{i}[/tex3]

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[tex3]\text{Pot}_{\text{u}} = \text{U} \, \text{i}[/tex3]

Mas sabemos que [tex3]\text{U} = \epsilon - \text{r} \, \text{i}, \, [/tex3]

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[tex3]\text{U} = \epsilon - \text{r} \, \text{i}, \, [/tex3]

então:

[tex3]\text{Pot}_{\text{u}} = \text{U} \, \text{i} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{⠀\text{Pot}_{\text{u}} = \epsilon \, \text{i} - \text{r} \, \text{i}^2⠀}[/tex3]

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[tex3]\text{Pot}_{\text{u}} = \text{U} \, \text{i} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{⠀\text{Pot}_{\text{u}} = \epsilon \, \text{i} - \text{r} \, \text{i}^2⠀}[/tex3]

Agora, perceba que essa potência é dada em função da intensidade da corrente, que varia como uma equação do segundo grau. Os pontos em que a potência útil será nula ocorrem quando o circuito está curto-circuitado ou quando o circuito está aberto [tex3](\text{i} = 0).[/tex3]

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[tex3](\text{i} = 0).[/tex3]

Assim, podemos observar que a corrente que torna a potência últi máxima é dada por [tex3]\frac{\text{i}_{\text{cc}} }{2}:[/tex3]

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[tex3]\frac{\text{i}_{\text{cc}} }{2}:[/tex3]

Corrente.png (19.12 KiB) Exibido 2502 vezes

Daí, calculamos a resistência do reostato na situação de transferência de potência máxima:

[tex3]\text{i} = \frac{\text{i}_{\text{cc}}}{2} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{i} = \frac{\epsilon / \text{r} }{2} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{i} = \frac{\epsilon}{2\text{r}}}[/tex3]

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[tex3]\text{i} = \frac{\text{i}_{\text{cc}}}{2} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \text{i} = \frac{\epsilon / \text{r} }{2} \,\,\,\, \therefore \,\,\,\, \boxed{\text{i} = \frac{\epsilon}{2\text{r}}}[/tex3]

Então,

[tex3]\epsilon = \(\text{R} + \text{r} \) \, \text{i} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \epsilon = \(\text{R} + \text{r} \) \, \frac{\epsilon}{2\text{r}} [/tex3]

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[tex3]\epsilon = \(\text{R} + \text{r} \) \, \text{i} \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \epsilon = \(\text{R} + \text{r} \) \, \frac{\epsilon}{2\text{r}} [/tex3]

[tex3]\therefore \,\,\,\, \boxed{⠀\text{R} =\text{r}⠀}[/tex3]

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[tex3]\therefore \,\,\,\, \boxed{⠀\text{R} =\text{r}⠀}[/tex3]