Ensino SuperiorIntegral tripla Tópico resolvido

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menelaus
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Jun 2019 09 20:17

Integral tripla

Mensagem não lida por menelaus » Dom 09 Jun, 2019 20:17

Calcule a integral de [tex3]f(x,y,z)=z[/tex3] sobre a região limitada pelo cone [tex3]z=\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}[/tex3] e pelo semi hiperbolóide [tex3]z=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}[/tex3]
Resposta

[tex3]\pi/4[/tex3]




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Cardoso1979
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Jun 2019 12 17:19

Re: Integral tripla

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Qua 12 Jun, 2019 17:19

Observe

Solução:

Fazendo a Intersecção de z = √( 1 + x² + y² ) com z = √( 2x² + 2y² ), vem;

√( 1 + x² + y² ) = √( 2x² + 2y² )

1 + x² + y² = 2x² + 2y²

x² + y² = 1 → projeção do sólido no plano xy.

Logo,

0 ≤ r ≤ 1 ( raio ) , 0 ≤ θ ≤ 2π ( círculo, volta completa ).
15603707154067640781515946968525.jpg
15603707154067640781515946968525.jpg (29.44 KiB) Exibido 108 vezes



Obs.1 O desenho não ficou muito legal...entenda que tanto o cone como o semi hiperboloide continua no infinito. Ah! O semi hiperboloide está dentro do cone.


Por outro lado,

z = √( 1 + x² + y² ) ( limite superior , ver figura! )

Em coordenadas cilíndricas:

z = √( 1 + r² )

Ainda;

z = √( 2x² + 2y² ) ( limite inferior , ver figura! )

Em coordenadas cilíndricas:

z = r√2


Assim, a integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por:


[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{r\sqrt{2}}^{\sqrt{1+r^2}}z \ rdzdrd\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}[z^2]_{r\sqrt{2}}^{\sqrt{1+r^2}}\ rdrd\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(1+r^2-2r^2)\ rdrd\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r-r^3)\ drd\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2π}[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}]_{0}^{1}d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2π}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{2π}(\frac{1}{4})d\theta =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.[\frac{\theta }{4}]_{0}^{2π}=\frac{\cancel{2}π}{\cancel{2}.4}=\frac{π}{4}[/tex3]

Obs.2

dzdydx = rdzdrdθ

x² + y² = r²


Portanto, o valor da integral é [tex3]\frac{π}{4}[/tex3] .


Nota

z² = 1 + x² + y² e z² = 2x² + 2x² , então;

z² = 2( z² - 1 )

z² = 2

z = ± √2 → z = √2


Bons estudos!




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Cardoso1979
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Re: Integral tripla

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Qui 13 Jun, 2019 22:14

Só uma correção:

Na realidade, somente o "fundo" ( pequena parte ) do semi hiperboloide que fica dentro do cone, como mostra a figura abaixo.
15604747025253284571010817304595.jpg
15604747025253284571010817304595.jpg (14.28 KiB) Exibido 85 vezes



Obs. Desconsiderar a primeira figura 👍




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