Ensino SuperiorGeometria Plana - Quadrado de lado a Tópico resolvido

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
buiu229
Pleno
Mensagens: 98
Registrado em: Qui 10 Dez, 2015 00:35
Última visita: 25-08-20
Jun 2019 09 13:45

Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por buiu229 »

São dados um quadrado de lado a em um triângulo equilátero de lado a. Calcule a área hachurada, sabendo que os pontos A, B e C são alinhados:
Screen Shot 2019-06-09 at 14.39.59.png
Screen Shot 2019-06-09 at 14.39.59.png (73.32 KiB) Exibido 1002 vezes
Resposta

Gabarito: [tex3]\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{44}[/tex3]

Última edição: caju (Dom 09 Jun, 2019 14:41). Total de 2 vezes.
Razão: retirar o enunciado da imagem.



Avatar do usuário
snooplammer
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1602
Registrado em: Seg 24 Out, 2016 14:18
Última visita: 02-12-20
Jun 2019 09 14:16

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por snooplammer »

Eu sei que é pra fazer por geometria plana, mas por analítica me parece mais imediata. Ponha os eixos cartesianos no lado do quadrado, provavelmente vai sair assim




Avatar do usuário
Autor do Tópico
buiu229
Pleno
Mensagens: 98
Registrado em: Qui 10 Dez, 2015 00:35
Última visita: 25-08-20
Jun 2019 09 14:18

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por buiu229 »

Desse jeito eu não faço ideia...sinceramente...



Avatar do usuário
Babi123
2 - Nerd
Mensagens: 1107
Registrado em: Sex 28 Jul, 2017 21:05
Última visita: 01-12-20
Jun 2019 09 15:56

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por Babi123 »

Primeiramente, denotemos o quadrado [tex3]ABDE[/tex3] e o triângulo equilátero [tex3]BCF[/tex3]

A forma que o o colega indicou é seguinte:
Considere o plano cartesiano de abcissa [tex3]AC[/tex3] e ordenada [tex3]AE[/tex3] , sendo [tex3]A(0,0)[/tex3] a origem.

De lucro vc já tem as coordenadas de [tex3]B(a,0)[/tex3] .

Seja [tex3]K=BD\cap CE[/tex3] e [tex3]T=BF\cap CE[/tex3] .

A reta [tex3]CE[/tex3] tem equação:
[tex3]y=-\frac{1}{2}x+a[/tex3]

A reta [tex3]BD[/tex3] tem equação [tex3]x=a[/tex3]

Então, [tex3]K[/tex3] é a interseção entre as retas [tex3]BD[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] . Ou seja:
[tex3]y=-\frac{1}{2}a+a\\
y=\frac{a}{2}[/tex3]
Logo, [tex3]K\(a, \frac{a}{2}\)[/tex3]

Encontre a equação da reta [tex3]BF[/tex3] , sabendo que o [tex3]\tg(\angle CBF)=\sqrt{3}[/tex3] . Depois para encontrar as coordenadas de [tex3]T[/tex3] faça a igualdade entre as equações das retas [tex3]BF[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] .

Depois de ter as coordenadas dos pontos [tex3]B, K,T[/tex3] utilize a fórmula da área de um triângulo na geometria analítica.
Última edição: Babi123 (Dom 09 Jun, 2019 16:05). Total de 3 vezes.



Avatar do usuário
Babi123
2 - Nerd
Mensagens: 1107
Registrado em: Sex 28 Jul, 2017 21:05
Última visita: 01-12-20
Jun 2019 09 16:00

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por Babi123 »

Acredito ser isso, mas tbm tenho a leve impressão que já vi essa questão aqui no fórum. :roll:



Avatar do usuário
snooplammer
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1602
Registrado em: Seg 24 Out, 2016 14:18
Última visita: 02-12-20
Jun 2019 09 16:10

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por snooplammer »

É isso mesmo, Babi123. Estava procurando uma solução alternativa e vi uma por trigonometria que é legal também. Se ninguém fizer eu posto mais tarde



Avatar do usuário
Babi123
2 - Nerd
Mensagens: 1107
Registrado em: Sex 28 Jul, 2017 21:05
Última visita: 01-12-20
Jun 2019 09 16:11

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por Babi123 »

Opaaa por trigonometria deve ser legal :D:D



Avatar do usuário
rodBR
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 527
Registrado em: Sáb 28 Jan, 2017 22:37
Última visita: 03-12-20
Jun 2019 10 01:35

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por rodBR »

Olá buiu229,bom dia.

Farei a solução por Geometria Plana mesmo.
1.png
1.png (70.28 KiB) Exibido 955 vezes
De [tex3]\Delta ACE[/tex3] ~[tex3]\Delta BCK[/tex3] :
[tex3]\frac{a}{2a}=\frac{BK}{a}\\
\boxed{BK=\frac{a}{2}}[/tex3]

Agora, é só perceber o seguinte:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=a^2[/tex3]

Por outro lado,
[tex3]A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=\frac{2a\cdot a}{2}\\
A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}=a^2[/tex3]

Então, temos que:
[tex3]A_{\Delta KDE}+A_{ABKE}=A_{ABKE}+A_{KBT}+A_{BCT}\\
A_{KBT}=A_{KDE}-A_{BCT}\\
\boxed{A_{KBT}=\frac{a\cdot \frac{a}{2}}{2}-\frac{BT\cdot\frac{a}{2}\cdot \sen60^o}{2}} \ \ (*)[/tex3]

Mas,
[tex3]A_{KBT}=\frac{\frac{a}{2}\cdot BT\cdot \sen30^o}{2}\\
A_{KBT}=\frac{a\cdot BT}{8}\\
\boxed{BT=\frac{8\cdot A_{KBT}}{a}}[/tex3]

Agora, basta substituir o valor de [tex3]BT[/tex3] em [tex3](*)[/tex3] e vc chega no resultado.


OBS.: Essa estratégia foi motivada por uma resolução de um professor quando eu estudava no ensino médio
Última edição: rodBR (Seg 10 Jun, 2019 17:17). Total de 3 vezes.
Razão: fazer correção na escrita matemática,


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

Avatar do usuário
Autor do Tópico
buiu229
Pleno
Mensagens: 98
Registrado em: Qui 10 Dez, 2015 00:35
Última visita: 25-08-20
Jun 2019 10 12:19

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por buiu229 »

Vou tentar resolver por esse método...



Avatar do usuário
petras
6 - Doutor
Mensagens: 3045
Registrado em: Qui 23 Jun, 2016 14:20
Última visita: 02-12-20
Jun 2019 10 14:09

Re: Geometria Plana - Quadrado de lado a

Mensagem não lida por petras »

rodBR,

Apenas uma correção:
rodBR escreveu:
Seg 10 Jun, 2019 01:35
[tex3]\Delta ACE\sim\Delta BC{\color{red}K}[/tex3]




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”