Olá!
Tentei bastante mas não consegui resolver essa questão. E como não tenho gabarito não tenho nenhum norte a seguir.
Sejam [tex3]\overrightarrow u[/tex3]
e [tex3]\overrightarrow v[/tex3]
vetores não colineares e [tex3]\overrightarrow w=\alpha \overrightarrow u+\beta\overrightarrow v[/tex3]
, onde [tex3]\alpha, \beta \in \mathbb{R}*[/tex3]
. Determine [tex3]\alpha[/tex3]
e [tex3]\beta[/tex3]
sabendo que são válidas simultaneamente as condições:
a) [tex3]\overrightarrow u, \overrightarrow v[/tex3]
e [tex3]\overrightarrow w[/tex3]
possuem norma igual a 1;
b) [tex3]\overrightarrow u[/tex3]
e [tex3]\overrightarrow w[/tex3]
são ortogonais;
c) O ângulo entre [tex3]\overrightarrow v[/tex3]
e [tex3]\overrightarrow w[/tex3]
é 45º.
Obrigado desde já.
Ensino Superior ⇒ Combinação linear Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2019
06
09:35
Re: Combinação linear
[tex3]\overrightarrow w=\alpha \overrightarrow u+\beta\overrightarrow v[/tex3]
Vamos fazer o produto escarlar da equação acima por [tex3]\vec{u}[/tex3] :
[tex3]\overrightarrow w\cdot \vec{u}=\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{u})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{u})[/tex3]
Usando a condição b), tem-se que [tex3]\vec{u}\cdot \vec{w}=0[/tex3]
[tex3]\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{u})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{u})=0[/tex3]
Pela condição a), [tex3]|\vec{u}|=1[/tex3] , [tex3]|\vec{v}|=1[/tex3]
Sabendo que [tex3]\overrightarrow u\cdot \vec{u}=|\vec{u}|^2=1[/tex3] , tem-se:
[tex3]\overrightarrow v\cdot \vec{u}=-\frac{\alpha}{\beta}[/tex3] (i)
Fazendo, agora, o produto escalar da expressão inicial por [tex3]\vec{w}[/tex3] , tem-se:
[tex3]\overrightarrow w\cdot \vec{w}=\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{w})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{w})[/tex3]
Usando condição a) e a condição b), tem-se:
[tex3]1=\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{w})[/tex3]
[tex3]1=\beta.|\vec{v}|.|\vec{w}|.\cos(45º)[/tex3]
Usando a condição a) novamente
[tex3]1=\beta.\cos(45º)[/tex3]
[tex3]\boxed{\beta=\sqrt{2}}[/tex3]
Substituindo em i, tem-se:
[tex3]\overrightarrow v\cdot \vec{u}=- \frac{\alpha}{\sqrt 2}[/tex3] (ii)
Fazendo produto escalar da expressão inicial por [tex3]\vec{v}[/tex3]
[tex3]\overrightarrow w\cdot \vec{v}=\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{v})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{v})[/tex3]
Substituindo os valores e condições já encontrados, tem-se:
[tex3]\cos(45)=-\frac{\alpha^2}{\sqrt 2}+\sqrt2=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex3]
[tex3]\alpha=\pm 1[/tex3]
Vamos, agora, conferir se realmente é possivel dois valores para alfa pela condição [tex3]|\vec{w}| =1[/tex3]
[tex3]|\vec{w}|^2=\(\alpha \overrightarrow u+\beta\overrightarrow v \)\cdot \(\alpha \overrightarrow u+\beta\overrightarrow v \)[/tex3]
[tex3]|\vec{w}|^2=\alpha^2 |\overrightarrow u|^2+\beta^2|\overrightarrow v |^2+2\alpha.\beta.(\overrightarrow v\cdot \vec{u})[/tex3]
[tex3]|\vec{w}|^2=\alpha^2. 1+2.1+2\alpha.\sqrt 2.\(- \frac{\alpha}{\sqrt 2}\)[/tex3]
[tex3]2-\alpha^2=1[/tex3]
[tex3]\alpha=\pm 1\qquad OK![/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\alpha =\pm 1}[/tex3]
Vamos fazer o produto escarlar da equação acima por [tex3]\vec{u}[/tex3] :
[tex3]\overrightarrow w\cdot \vec{u}=\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{u})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{u})[/tex3]
Usando a condição b), tem-se que [tex3]\vec{u}\cdot \vec{w}=0[/tex3]
[tex3]\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{u})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{u})=0[/tex3]
Pela condição a), [tex3]|\vec{u}|=1[/tex3] , [tex3]|\vec{v}|=1[/tex3]
Sabendo que [tex3]\overrightarrow u\cdot \vec{u}=|\vec{u}|^2=1[/tex3] , tem-se:
[tex3]\overrightarrow v\cdot \vec{u}=-\frac{\alpha}{\beta}[/tex3] (i)
Fazendo, agora, o produto escalar da expressão inicial por [tex3]\vec{w}[/tex3] , tem-se:
[tex3]\overrightarrow w\cdot \vec{w}=\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{w})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{w})[/tex3]
Usando condição a) e a condição b), tem-se:
[tex3]1=\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{w})[/tex3]
[tex3]1=\beta.|\vec{v}|.|\vec{w}|.\cos(45º)[/tex3]
Usando a condição a) novamente
[tex3]1=\beta.\cos(45º)[/tex3]
[tex3]\boxed{\beta=\sqrt{2}}[/tex3]
Substituindo em i, tem-se:
[tex3]\overrightarrow v\cdot \vec{u}=- \frac{\alpha}{\sqrt 2}[/tex3] (ii)
Fazendo produto escalar da expressão inicial por [tex3]\vec{v}[/tex3]
[tex3]\overrightarrow w\cdot \vec{v}=\alpha (\overrightarrow u\cdot \vec{v})+\beta(\overrightarrow v\cdot \vec{v})[/tex3]
Substituindo os valores e condições já encontrados, tem-se:
[tex3]\cos(45)=-\frac{\alpha^2}{\sqrt 2}+\sqrt2=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex3]
[tex3]\alpha=\pm 1[/tex3]
Vamos, agora, conferir se realmente é possivel dois valores para alfa pela condição [tex3]|\vec{w}| =1[/tex3]
[tex3]|\vec{w}|^2=\(\alpha \overrightarrow u+\beta\overrightarrow v \)\cdot \(\alpha \overrightarrow u+\beta\overrightarrow v \)[/tex3]
[tex3]|\vec{w}|^2=\alpha^2 |\overrightarrow u|^2+\beta^2|\overrightarrow v |^2+2\alpha.\beta.(\overrightarrow v\cdot \vec{u})[/tex3]
[tex3]|\vec{w}|^2=\alpha^2. 1+2.1+2\alpha.\sqrt 2.\(- \frac{\alpha}{\sqrt 2}\)[/tex3]
[tex3]2-\alpha^2=1[/tex3]
[tex3]\alpha=\pm 1\qquad OK![/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{\alpha =\pm 1}[/tex3]
Ciclo Básico - IME
Jun 2019
06
18:54
Re: Combinação linear
Valeu, cara. É tão simples que dá vergonha não ter enxergado isso.
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