Ensino Superior ⇒ inversão e média harmônica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2019
01
06:15
inversão e média harmônica
Os pontos A, B, C, e D formam uma divisão harmônica . Transforme , por inversão de pólo A , os pontos B, C, e D . Se B`= inv(B), c´= inv(C) e D´= inv(D), prove que B´é o ponto médio de C´D´.
-
- Última visita: 31-12-69
Jun 2019
01
22:00
Re: inversão e média harmônica
hehehe essas perguntas tem tudo a ver com meus tópicos.
Segundo o final do item 4 do tópico de cross-ratio temos os pontos alinhados possum razão anarmônica -1 o que é denotado por [tex3]\mathcal H(A,B;C,D)[/tex3] e o item 5 mostra que a inversão de quatro pontos não na origem preserva a cross-ratio.
Esse exercício complementa o item 5 no sentido que engloba o caso de um dos pontos ser o pólo de inversão. Igaminemos que [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BD[/tex3] queremos o ponto [tex3]A[/tex3] tal que o conjugado harmônico de [tex3]A[/tex3] seja [tex3]M[/tex3] . Tracemos um círculo de diâmetro [tex3]BD[/tex3] ou seja [tex3]M[/tex3] é o centro a forma de encontrarmos o conjugado harmônico de [tex3]M[/tex3] seria traçando a reta polar que passa por [tex3]M[/tex3] em relação ao círculo de inversão de centro [tex3]M[/tex3] e raio [tex3]BM[/tex3] isso é impossível pois não há polar que passe pelo centro inversão. Logo não existe o ponto [tex3]A[/tex3] chamamos esse ponto indefinido de [tex3]\infty[/tex3] em geometria projetiva (é um ponto especial que não está no plano e é considerado o inverso do centro de inversão) dizemos que [tex3]\mathcal H(\infty,B;C,D) \iff C=M[/tex3] . Depois eu mostro com as contas esse exercício, mas a intuição por trás é essa: a preservação da cross-ratio mesmo quando o ponto é pólo de inversão.
Segundo o final do item 4 do tópico de cross-ratio temos os pontos alinhados possum razão anarmônica -1 o que é denotado por [tex3]\mathcal H(A,B;C,D)[/tex3] e o item 5 mostra que a inversão de quatro pontos não na origem preserva a cross-ratio.
Esse exercício complementa o item 5 no sentido que engloba o caso de um dos pontos ser o pólo de inversão. Igaminemos que [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BD[/tex3] queremos o ponto [tex3]A[/tex3] tal que o conjugado harmônico de [tex3]A[/tex3] seja [tex3]M[/tex3] . Tracemos um círculo de diâmetro [tex3]BD[/tex3] ou seja [tex3]M[/tex3] é o centro a forma de encontrarmos o conjugado harmônico de [tex3]M[/tex3] seria traçando a reta polar que passa por [tex3]M[/tex3] em relação ao círculo de inversão de centro [tex3]M[/tex3] e raio [tex3]BM[/tex3] isso é impossível pois não há polar que passe pelo centro inversão. Logo não existe o ponto [tex3]A[/tex3] chamamos esse ponto indefinido de [tex3]\infty[/tex3] em geometria projetiva (é um ponto especial que não está no plano e é considerado o inverso do centro de inversão) dizemos que [tex3]\mathcal H(\infty,B;C,D) \iff C=M[/tex3] . Depois eu mostro com as contas esse exercício, mas a intuição por trás é essa: a preservação da cross-ratio mesmo quando o ponto é pólo de inversão.
Jun 2019
04
02:27
Re: inversão e média harmônica
He he. Verdade tem coincidido mesmo. Valeu , aguardo as contas.
Um abraço !
Um abraço !
-
- Última visita: 31-12-69
Jun 2019
05
00:48
Re: inversão e média harmônica
vou supor que A,B,C e D estão nessa ordem da esquerda para a direita o outro caso é análogo.
O que você precisa saber é que quando A,B,C e D estão nessa ordem as distâncias dos pontos até o ponto A formam uma progressão harmônica, ou seja: [tex3]\frac1{AB},\frac1{AC}[/tex3] e [tex3]\frac1{AD}[/tex3] são uma progressão aritmética.
Prova:
Primeiro note que se CD divide AB harmonicamente então AB também divide CD harmonicamente.
Então:
[tex3]\frac{CB}{AB} = \frac{DC}{DA}[/tex3]
dividindo tudo por AC:
[tex3]\frac{CB}{AB \cdot AC} = \frac{DC}{DA \cdot AC}[/tex3]
[tex3]\frac{AC-AB}{AB \cdot AC} = \frac{AD-AC}{DA \cdot AC}[/tex3]
[tex3]\frac1{AB} - \frac1{AC} = \frac1{AC} - \frac1{AD}[/tex3]
mas veja só a inversão nos diz que:
[tex3]\frac1{AB} = \frac{AB'}{R^2}[/tex3]
logo temos:
[tex3]AB' - AC' = AC' - AD' \iff AC' = \frac{(AB' + AD')}2[/tex3]
logo [tex3]C'[/tex3] é ponto médio de [tex3]B'D'[/tex3] .
O que você precisa saber é que quando A,B,C e D estão nessa ordem as distâncias dos pontos até o ponto A formam uma progressão harmônica, ou seja: [tex3]\frac1{AB},\frac1{AC}[/tex3] e [tex3]\frac1{AD}[/tex3] são uma progressão aritmética.
Prova:
Primeiro note que se CD divide AB harmonicamente então AB também divide CD harmonicamente.
Então:
[tex3]\frac{CB}{AB} = \frac{DC}{DA}[/tex3]
dividindo tudo por AC:
[tex3]\frac{CB}{AB \cdot AC} = \frac{DC}{DA \cdot AC}[/tex3]
[tex3]\frac{AC-AB}{AB \cdot AC} = \frac{AD-AC}{DA \cdot AC}[/tex3]
[tex3]\frac1{AB} - \frac1{AC} = \frac1{AC} - \frac1{AD}[/tex3]
mas veja só a inversão nos diz que:
[tex3]\frac1{AB} = \frac{AB'}{R^2}[/tex3]
logo temos:
[tex3]AB' - AC' = AC' - AD' \iff AC' = \frac{(AB' + AD')}2[/tex3]
logo [tex3]C'[/tex3] é ponto médio de [tex3]B'D'[/tex3] .
Jul 2021
30
22:57
Re: inversão e média harmônica
.............................
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