Ensino Superior

Mensagem não lidapor **geobson** » Seg 20 Mai, 2019 20:12

Por favor , alguém poderia me ajudar com esse problema retirado do livro do morgado. Não consegui, embora a sugestão dada.

Se um círculo é tangente internamente ao círculo circunscrito de um triângulo ABC e é tangente em P e Q a dois lados do triângulo, prove que o incentro do triângulo é o ponto médio de PQ.

Sugestão: transforme os dois círculos, utilizando uma inversão de pólo A e raio AI.

você pode fazer por inversão, mas é mais fácil usar o teorema de Pascal:

A demonstração desse resultado é o item 2 da minha demonstração: viewtopic.php?f=20&t=69938

quanto a inversão, caso você não saiba o que é: viewtopic.php?f=28&t=69875

Se você quiser que faça usando a inversão exclusivamente me avisa, que quando eu tiver um tempo eu posto

Mensagem não lidapor **geobson** » Seg 20 Mai, 2019 20:48

valeu mesmo . obrigado .
adorei a solução , mas se depois você puder resolver usando exclusivamente inversão , seria excelente..
um abraço..

: incentromixtilinear.png (54.62 KiB) Exibido 1879 vezes

vamos lá:
a inversão do circuncírculo do triângulo ABC com relação ao círculo centrado em A de raio AI é uma reta que não passa por A.

Pra determinar essa reta sem o teorema de Pascal você precisa saber que:
[tex3]M_AI = M_AB = M_AC[/tex3] :

é fácil ver que [tex3]M_AB = M_AC[/tex3] pois [tex3]\angle M_A AB = \angle M_AAC[/tex3] e arcos de mesmo tamanho num mesmo círculo delimitam cordas de mesmo tamanho. Agora note que [tex3]\angle M_ABI = \frac A2 + \frac B2[/tex3] e que [tex3]\angle AM_AB = C[/tex3] pra soma do [tex3]\Delta M_AIB[/tex3] dar 180 devemos ter que [tex3]\angle M_AIB = \frac A2 + \frac B2 = \angle M_ABI \iff M_AI = M_AB[/tex3] .

Posto isso, olhemos para os pontos X e Y de encontro do circuncírculo de ABC com o círculo centrado em A de raio AI:
[tex3]AX = AY = AI[/tex3] indicando que o incírculo de [tex3]\Delta ABC[/tex3] é o mesmo que o de [tex3]\Delta M_AXY[/tex3] o que para conferir basta usar a volta do resultado anterior (veja que o ponto [tex3]A[/tex3] em [tex3]AX = AY = AI[/tex3] é análogo ao ponto [tex3]M_A[/tex3] em [tex3]M_AI = M_AB = M_AC[/tex3] de onde [tex3]I[/tex3] é incentro de [tex3]M_AXY[/tex3] e como temos a Relação de Euler: [tex3]OI^2 = R^2 -2rR[/tex3] temos que o raio do incírculo dos dois é igual logo os dois incírculos são iguais!!).

Então o inverso do circuncírculo de ABC com relação ao círculo(A,AI) é a reta XY que é tangente ao incírculo de ABC!

conforme o item 4 da minha demonstração do círculo mixtilinear o inverso deste é o incírculo do triângulo ABC
porém eu demonstrei isso usando que IE é perpendicular a AI, pra evitar isso:
O inverso do círculo mixtilinear será outro círculo também tangente ao lados AB e AC (que se mantém inalterados depois da inversão por serem retas passando pelo centro A) e será tangente à reta XY.

Mas veja só: só podem existir 4 círculos tangentes a três retas ao mesmo tempo. Basta que você marque os 3 pontos de encontro das retas, forme um triângulo e desenhe o incírculo do triângulo e os 3 ex-incírculos. No nosso caso sabemos que o incírculo de ABC é tangente tanto à AB, como AC, como XY você deve conferir (dentre as 4 opções possíveis) que ele é o inverso do círculo mixtilinear (não é difícil, você pode eliminar alguns pelo semi-plano que eles estão da reta XY, mas demora um pouco e vou deixar pra você).

Agora vale o inverso da minha prova no item 4:
Seja Z o ponto de contato do incírculo com o lado AB e P o ponto de contato do círculo mixtilinear com o mesmo lado.
Da inversão: [tex3]AP \cdot AZ = AI^2 \iff \frac{AP}{AI} = \frac{AI}{AZ}[/tex3] de onde [tex3]\Delta API \sim \Delta AIZ[/tex3] por LAL e portanto [tex3]\angle AIP = \angle AZI = 90[/tex3] analogamente [tex3]\angle AIQ =90[/tex3] logo [tex3]AI[/tex3] é altura do triângulo isósceles [tex3]\Delta APQ[/tex3] logo é mediatriz e portanto I é ponto médio de PQ. Muito mais complicado que o teorema de Pascal.

Mensagem não lidapor **geobson** » Ter 21 Mai, 2019 04:38

brilhante!!!

um abraço..

Mensagem não lidapor **geobson** » Sex 14 Mai, 2021 09:34

Uma prova bem legal do alinhamento de T, F e M_b.

http://geometriadominicana.blogspot.com ... o.html?m=1

geobson, muito legal esse material. Obrigado por compartilhar.

NigrumCibum escreveu: ↑
Sáb 31 Jul, 2021 10:25
geobson, muito legal esse material. Obrigado por compartilhar.

Imagina, acredito que conhecimento é pra ser compartilhado mesmo e acredito firmemente que nosso objetivo aqui neste fórum seja esse....

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