Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[dnlsilva]

Dado o tetraedro de vértices 𝐴(1,2,1), 𝐵(2, −1,1), 𝐶(0, −1, −1) e 𝐷(3,1,0)

calcule a medida da altura baixada do vértice 𝐷 ao plano da face 𝐴𝐵𝐶.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Basta calcular a distância do ponto D( 3 , 1 , 0 )
ao plano que passa pelos pontos A( 1 , 2 , 1 ) , B( 2 , - 1 , 1 ) e C( 0 , - 1 , - 1 ). Precisamos de dois vetores diretores para o plano, temos que

[tex3]\vec{AB}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB}[/tex3]

= ( 1 , - 3 , 0 )

e

[tex3]\vec{AC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AC}[/tex3]

= ( - 1 , - 3 , - 2 )

Como o plano passa por A( 1 , 2 , 1 ) , vem;

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
x-1 & y-2 & z-1 \\
1 & -3 & 0\\
-1 & -3 & -2
\end{array} \right]=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
x-1 & y-2 & z-1 \\
1 & -3 & 0\\
-1 & -3 & -2
\end{array} \right]=0[/tex3]

Desenvolvendo, encontramos:

6x + 2y - 6z - 4 = 0

Ou seja;

π : 3x + y - 3z - 2 = 0

Assim,

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{|ax_{o}+by_{o}+cz_{o}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{|ax_{o}+by_{o}+cz_{o}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex3]

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{|3.3+1.1-3.0-2|}{\sqrt{3^2+1^2+(-3)^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{|3.3+1.1-3.0-2|}{\sqrt{3^2+1^2+(-3)^2}}[/tex3]

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{|8|}{\sqrt{19}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{|8|}{\sqrt{19}}[/tex3]

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{8.\sqrt{19}}{\sqrt{19}.\sqrt{19}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{8.\sqrt{19}}{\sqrt{19}.\sqrt{19}}[/tex3]

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{8.\sqrt{19}}{19}=h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{(D,π)}=\frac{8.\sqrt{19}}{19}=h[/tex3]

Portanto, a altura procurada é
[tex3]h=\frac{8.\sqrt{19}}{19}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h=\frac{8.\sqrt{19}}{19}[/tex3]

.



Nota

Outra maneira seria esta, resolvida por mim em outro fórum, isso mesmo, ( rca-PI ) trata-se dessa mesma pessoa que vos digita


https://www.google.com/amp/s/br.answers ... 429AAwBQPZ



Bons estudos!