A mesma não tem resposta.
Encontre a solução geral da equação de Ricatti
[tex3]\frac{dx}{dy}+y^{2}=x^{2}-2x[/tex3]
sabendo-se que [tex3]y=1-x[/tex3]
é solução particular.
Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
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00:10
Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
Última edição: caju (Dom 19 Mai, 2019 10:29). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
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A sabedoria é melhor que ouro e prata."
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Mai 2019
19
00:42
Re: Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
Vou fazer usando a solução padrão da eq de RIcatti. Poderia fazer avaliando apenas a solução homogênea nesse caso porque daria para resolver.
Usando eq de ricatti
Seja [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]
Daí,
[tex3]y'=-1-\frac{1}{v^2}.v'[/tex3]
Substituindo na eq original, tem-se:
[tex3]\(-1-\frac{1}{v^2}.v' \)+\(1-x+\frac{1}{v}\)^2=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-1-\frac{1}{v^2}.v' +x^2-2x+1+\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{v^2}.v' +\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=0[/tex3]
Multiplicando por [tex3]v^2[/tex3]
[tex3]-v' +2v-2xv+1=0[/tex3]
[tex3]v' -2(1-x)v=1[/tex3]
O fator integrante é [tex3]u(x)=-2x+x^2[/tex3] . Daí,
[(2x-x^2).v]'=-2x+x^2
Integrando
[tex3]
(2x-x^2).v=-x^2+\frac{x^3}{3}+C; \quad x\in \mathbb{R}[/tex3]
[tex3]v=\frac{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}{2x-x^2}[/tex3]
Sabemos que [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3] . Deste modo, a solução da EDO do enunciado será:
[tex3]y= 1-x+\frac{2x-x^2}{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}[/tex3]
Usando eq de ricatti
Seja [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]
Daí,
[tex3]y'=-1-\frac{1}{v^2}.v'[/tex3]
Substituindo na eq original, tem-se:
[tex3]\(-1-\frac{1}{v^2}.v' \)+\(1-x+\frac{1}{v}\)^2=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-1-\frac{1}{v^2}.v' +x^2-2x+1+\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{v^2}.v' +\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=0[/tex3]
Multiplicando por [tex3]v^2[/tex3]
[tex3]-v' +2v-2xv+1=0[/tex3]
[tex3]v' -2(1-x)v=1[/tex3]
O fator integrante é [tex3]u(x)=-2x+x^2[/tex3] . Daí,
[(2x-x^2).v]'=-2x+x^2
Integrando
[tex3]
(2x-x^2).v=-x^2+\frac{x^3}{3}+C; \quad x\in \mathbb{R}[/tex3]
[tex3]v=\frac{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}{2x-x^2}[/tex3]
Sabemos que [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3] . Deste modo, a solução da EDO do enunciado será:
[tex3]y= 1-x+\frac{2x-x^2}{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}[/tex3]
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Mai 2019
19
10:02
Re: Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
Obrigado agora vi aonde estava errando.
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