Ensino SuperiorEquações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)

Poste aqui problemas sobre assuntos estudados no Ensino Superior (exceto os cobrados em concursos públicos e escolas militares).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
lucasmegna
1 - Trainee
Mensagens: 67
Registrado em: Qui 09 Mai, 2019 13:05
Última visita: 04-11-21
Mai 2019 19 00:10

Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)

Mensagem não lida por lucasmegna »

A mesma não tem resposta.

Encontre a solução geral da equação de Ricatti

[tex3]\frac{dx}{dy}+y^{2}=x^{2}-2x[/tex3]

sabendo-se que [tex3]y=1-x[/tex3] é solução particular.

Última edição: caju (Dom 19 Mai, 2019 10:29). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.


"Não conquiste o mundo e perca a sua alma.
A sabedoria é melhor que ouro e prata."

Avatar do usuário
erihh3
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 559
Registrado em: Dom 16 Set, 2018 12:59
Última visita: 15-10-23
Mai 2019 19 00:42

Re: Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)

Mensagem não lida por erihh3 »

Vou fazer usando a solução padrão da eq de RIcatti. Poderia fazer avaliando apenas a solução homogênea nesse caso porque daria para resolver.

Usando eq de ricatti

Seja [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]

Daí,

[tex3]y'=-1-\frac{1}{v^2}.v'[/tex3]

Substituindo na eq original, tem-se:

[tex3]\(-1-\frac{1}{v^2}.v' \)+\(1-x+\frac{1}{v}\)^2=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-1-\frac{1}{v^2}.v' +x^2-2x+1+\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{v^2}.v' +\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=0[/tex3]

Multiplicando por [tex3]v^2[/tex3]

[tex3]-v' +2v-2xv+1=0[/tex3]
[tex3]v' -2(1-x)v=1[/tex3]

O fator integrante é [tex3]u(x)=-2x+x^2[/tex3] . Daí,

[(2x-x^2).v]'=-2x+x^2

Integrando

[tex3]
(2x-x^2).v=-x^2+\frac{x^3}{3}+C; \quad x\in \mathbb{R}[/tex3]

[tex3]v=\frac{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}{2x-x^2}[/tex3]

Sabemos que [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3] . Deste modo, a solução da EDO do enunciado será:

[tex3]y= 1-x+\frac{2x-x^2}{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}[/tex3]



Ciclo Básico - IME

Avatar do usuário
Autor do Tópico
lucasmegna
1 - Trainee
Mensagens: 67
Registrado em: Qui 09 Mai, 2019 13:05
Última visita: 04-11-21
Mai 2019 19 10:02

Re: Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)

Mensagem não lida por lucasmegna »

Obrigado agora vi aonde estava errando.



"Não conquiste o mundo e perca a sua alma.
A sabedoria é melhor que ouro e prata."

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Superior”