A mesma não tem resposta.
Encontre a solução geral da equação de Ricatti
[tex3]\frac{dx}{dy}+y^{2}=x^{2}-2x[/tex3]
sabendo-se que [tex3]y=1-x[/tex3]
é solução particular.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
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Mai 2019
19
00:10
Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
Editado pela última vez por caju em 19 Mai 2019, 10:29, em um total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
"Não conquiste o mundo e perca a sua alma.
A sabedoria é melhor que ouro e prata."
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Mai 2019
19
00:42
Re: Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
Vou fazer usando a solução padrão da eq de RIcatti. Poderia fazer avaliando apenas a solução homogênea nesse caso porque daria para resolver.
Usando eq de ricatti
Seja [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]
Daí,
[tex3]y'=-1-\frac{1}{v^2}.v'[/tex3]
Substituindo na eq original, tem-se:
[tex3]\(-1-\frac{1}{v^2}.v' \)+\(1-x+\frac{1}{v}\)^2=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-1-\frac{1}{v^2}.v' +x^2-2x+1+\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{v^2}.v' +\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=0[/tex3]
Multiplicando por [tex3]v^2[/tex3]
[tex3]-v' +2v-2xv+1=0[/tex3]
[tex3]v' -2(1-x)v=1[/tex3]
O fator integrante é [tex3]u(x)=-2x+x^2[/tex3] . Daí,
[(2x-x^2).v]'=-2x+x^2
Integrando
[tex3]
(2x-x^2).v=-x^2+\frac{x^3}{3}+C; \quad x\in \mathbb{R}[/tex3]
[tex3]v=\frac{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}{2x-x^2}[/tex3]
Sabemos que [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3] . Deste modo, a solução da EDO do enunciado será:
[tex3]y= 1-x+\frac{2x-x^2}{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}[/tex3]
Usando eq de ricatti
Seja [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3]
Daí,
[tex3]y'=-1-\frac{1}{v^2}.v'[/tex3]
Substituindo na eq original, tem-se:
[tex3]\(-1-\frac{1}{v^2}.v' \)+\(1-x+\frac{1}{v}\)^2=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-1-\frac{1}{v^2}.v' +x^2-2x+1+\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=x^2-2x[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{v^2}.v' +\frac{2}{v}-\frac{2x}{v}+\frac{1}{v^2}=0[/tex3]
Multiplicando por [tex3]v^2[/tex3]
[tex3]-v' +2v-2xv+1=0[/tex3]
[tex3]v' -2(1-x)v=1[/tex3]
O fator integrante é [tex3]u(x)=-2x+x^2[/tex3] . Daí,
[(2x-x^2).v]'=-2x+x^2
Integrando
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(2x-x^2).v=-x^2+\frac{x^3}{3}+C; \quad x\in \mathbb{R}[/tex3]
[tex3]v=\frac{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}{2x-x^2}[/tex3]
Sabemos que [tex3]y= 1-x+\frac{1}{v}[/tex3] . Deste modo, a solução da EDO do enunciado será:
[tex3]y= 1-x+\frac{2x-x^2}{-x^2+\frac{x^3}{3}+C}[/tex3]
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Mai 2019
19
10:02
Re: Equações Diferenciais Ordinárias (Ricatti)
Obrigado agora vi aonde estava errando.
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